8 periodicidad: periodicidad de Bott reloj de Clifford - KO-dimensión en geometría no conmutativa

Question

Periodicidad modulo 8 aparece en la clasificación de la real álgebras de Clifford $C\ell_{p,q}(\mathbb{R})$ (usualy que nos referimos como el "Clifford Reloj"), en el real Bott la periodicidad y en la definición de una estructura real de KO-dimensión en un espectral triple. El último concepto se puede encontrar en los Connes-Marcolli libro http://alainconnes.org/docs/bookwebfinal.pdfpor ejemplo.

Espectral triples son una generalización de los spin$^c$ colectores y real espectral de triples de spin colectores. De hecho, cada (real) espectral de la triple a través de una conmutativa $*$-álgebra es un spin colector, por cierto reconstrucción teoremas probados por Connes y, de manera independiente y bajo otras condiciones, por A. Rennie y J. Várilly. El KO-dimensión $N\in\mathbb{Z_8}$ real de una espectral triple es enterly determinado por saber si determinados operadores en un espacio de Hilbert $H$ viajar, o anticommute. $H$ generaliza el cuadrado integrable spinors espacio de Hilbert.

Ser ajeno a K-teoría, yo sospecho que la definición de KO-dim está motivado (como muchos de los conceptos de la geometría no conmutativa) por lo que sucede en el "conmutativa" (spin geometría). Quiero saber donde hacer tales conmutación y anticommutation relaciones aparecen en KO-teoría. De otra manera, ¿cuál es la motivación para la definición de KO-dim, desde el punto de vista de la K-teoría? esta periodicidad puede ser relacionada con el real Bott periodicidad o la periodicidad de las Clifford reloj?

Answer 1

Me temo que más bien tarde a la fiesta, pero me dejó tirar un par de ideas, con la esperanza de que algo va a ser de utilidad para alguien. Usted probablemente sabe todo bajo 1. y 2., así que si quieres el remate, ¿ perdonar el tl;dr y sólo vaya a 3.

1. Para ser absolutamente claro sobre el estado de la técnica, Connes del teorema realmente le dice lo siguiente:

   • Un unital Frechet pre-$C^\ast$-álgebra $A$ es isomorfo a $C^\infty(X)$ $X$ compacta orientable $p$-colector si y sólo si existe un $\ast$-representación de $A$ sobre un espacio de Hilbert $H$ y un auto-adjunto ilimitado operador $D$ $H$ tal que $(A,H,D)$ es un conmutativa espectral triple de la dimensión métrica $p$.
   • En particular, $A$ es isomorfo a $C^\infty(X)$ $X$ un compacto spin$^{\mathbb{C}}$ $p$-colector si y sólo si no existe $H$ $D$ tal que $(A,H,D)$ es un conmutativa espectral triple de la dimensión métrica $p$ e $A^{\prime\prime}$ actúa en $H$ con multiplicidad $2^{\lfloor p/2\rfloor}$.

   Una vez que usted sabe que $A \cong C^\infty(X)$, a continuación, puede aplicar el mucho antes "bebé reconstrucción teorema" (a falta de una mejor expresión) anunciado por Connes y demostrado en detalle por la Gracia-Bondia--Varilly--Figueroa a la conclusión de que:

   • En el caso general, $(A,H,D) \cong (C^\infty(X),L^2(X,E),D)$ donde $E \to X$ es un Hermitian vector paquete y $D$ puede ser interpretado como esencialmente auto-adjunto elíptica diferencial de primer orden de operador en $E$.
   • En el caso de que $A^{\prime\prime}$ actos con multiplicidad $2^{\lfloor p/2 \rfloor}$, $E \to X$ de hecho, es una spinor paquete (es decir, irreductible Clifford módulo bundle) y $D$ es de Dirac-tipo (es decir, una perturbación de un spin$^{\mathbb{C}}$ Dirac operador simétrico paquete endomorfismo de $E$).

   Así, mientras que usted puede refinar la reconstrucción teorema de una caracterización de compacto spin$^{\mathbb{C}}$ colectores con spinor paquete y esencialmente auto-adjunto de Dirac-tipo de operador, el resultado general es en realidad una declaración sobre compacta orientable colectores. De hecho, incluso se puede refinar la reconstrucción teorema de una caracterización de compacto orientado de Riemann colectores con uno mismo-adjoint Clifford módulo y esencialmente auto-adjunto de Dirac-tipo de operador.

2. Después de ese desvío, vamos al grano---todo aquí es básicamente tomado de Varilly excelentes notas de la conferencia. Es conocido que en NCG-tierra que un compacto orientado colector $X$ es spin$^{\mathbb{C}}$ si y sólo si se admite una irreductible Clifford módulo (es decir, spinor bundle) $S \to X$, en cuyo caso el grupo de Picard de la línea de paquetes (hasta el isomorfismo) actúa libremente y transitivamente en el spinor haces por $([L],[S]) \mapsto [L \otimes S]$.

   Ahora, con un poco de atención, si $S \to X$ es un spinor paquete, entonces usted puede hacer el doble paquete de $S^\ast \to X$ en un spinor paquete, así que $S^\ast \cong L \otimes S$ para algunos de la línea de paquete de $S$. Es entonces un famoso (en NCG-tierra) teorema de Plymen que $X$ es realmente spin si y sólo si existe una spinor bundle $S$ $S^\ast \cong S$ como Clifford módulos, en cuyo caso $S$ es el spinor paquete para el subyacente de giro de la estructura. Por la representación de Riesz teorema (de Hermitian vector de paquetes), junto con un poco de cuidado, la existencia de este isomorfismo de Clifford módulos es equivalente a la existencia de la famosa carga de la conjugación del operador $J$, cuya conmutación o anticommutation con el operador de Dirac y la quiralidad elemento es, en última instancia, forzado por la estructura algebraica de $\mathrm{Cl}(\mathbb{R}^{\dim X})$---ver Landsman excelente pero aparentemente poco conocida, notas de la conferencia para más detalles. Por lo tanto, por la periodicidad de Bott real álgebras de Clifford, estas relaciones depende sólo de $\dim X \bmod 8$, lo que da Connes de la famosa tabla---para sutilezas, incluyendo por qué Limites de la tabla no (de forma explícita) incluyen todos los $8$ posibilidades para los tres signos, ver Landsman notas.

3. Entonces, ¿qué acerca de la $KO$-teoría? Aquí es lo que puedo pieza juntos como un pariente laico de la única fuente que entra en cualquier detalle, Gracia-Bondia--Varilly--Figueroa. Así, según el artículo 9.5 de GBVF, hay un buen de hormigón (de hecho, básicamente algebraico) de una correspondencia uno a uno entre el real espectral de triples de $KO$-dimensión $j \bmod 8$ $(A,H,D,J)$, también conocido como reducción de $KR^j$-ciclos de $(A \otimes A^o,H,D,J)$, y los llamados sin diluir $KR^j$-ciclos de $(A \otimes A^o,H,D,J,\rho)$, los cuales son (a grandes rasgos) real espectral de triples de $KO$-dimensión $j \bmod 8$ dotado de un compatibles acción de $\mathrm{Cl}(\mathbb{R}^j)$. En virtud de esta correspondencia (aproximadamente hablando!), el operador de Dirac de un pacto spin colector $X$, el cual puede ser visto como la vida en el $K$-homología $K_0(X)$$X$, debe corresponder a un determinado $\mathrm{Cl}(\mathbb{R}^j)$-lineal (trenzado) operador de Dirac en $X$ (ver Lawson--Michelson, S II.7), el cual puede ser visto como la vida en el $KO$-homología $KO_j(X)$$X$, donde el Real periodicidad de Bott le dice que hay sólo ocho distintos $KO$-homología de grupos. Así, para cortar una larga historia corta, un verdadero espectral triple de $KO$-dimensión $j \bmod 8$ es, así, que se dice $KO$-dimensión $j \bmod 8$ porque vive (moralmente) en los $j$-th $KO$-homología de grupo. Esto es probablemente lo que realmente quería, así que espero que tenga algún sentido!