Diferencia matemática entre "hay uno" y "hay EXACTAMENTE uno"

Question

Sé que puedo decir x(P(x)), lo que significa que hay al menos una x para P(x), pero ¿cómo expreso exactamente una?

He aquí las preguntas:

(a) No todos los alumnos de tu clase tienen conexión a Internet. (b) Todos los alumnos de tu clase, excepto uno, tienen conexión a Internet.

Así que para la primera escribí:

(a) xx(¬I(x))

"Para todo x existe un x (o más) tal que un x no tiene conexión a internet" (donde I es el estado de tener conexión a internet)

(b) No sabe cómo expresarse

Podría estar equivocado, por favor corríjanme ya que soy bastante nuevo en expresar todo esto matemáticamente

Gracias por su ayuda

Answer 1

Tienes razón en que "Existe..." significa que existe como mínimo uno. Para decir que hay exactamente uno hay que decir lo siguiente:

$$\exists x(\varphi(x)\land\forall z(\varphi(z)\rightarrow z=x)).$$

Es decir, existe $x$ satisfaciendo lo que sea y cuando sea $z$ satisface lo que sea, $z$ debe ser igual a $x$ . Obsérvese también que el alcance del cuantificador existencial es sobre toda la afirmación.

(Como ejemplo matemático, Existe un número natural que es mayor que $1$ pero existe exactamente un número natural menor que $1$ (aquí tomamos $0$ sea un número natural))

Answer 2

Para la parte (a), eso no es correcto - "para todos los $x$ hay un $x$ "le sonará raro de inmediato (¿por qué es $x$ dos veces). Ya casi lo has conseguido: piensa un poco más en lo que quieres decir.

Para (b), déjame darte una pista: intenta expresar (b) como una conjunción de dos afirmaciones más sencillas:

• Hay algunos alumno de la clase sin conexión a Internet.

• Es no el caso de que haya dos alumnos de la clase sin conexión a Internet.

Answer 3

Expresar "exactamente uno" cerca del lenguaje natural:

Hay alguien (x) sin Internet (¬I(x)) y () todos los demás (y (yx..) tienen Internet (I(y)):

x(¬I(x)y(yxI(y)))

Con cuantificador acotado s lo mismo podría expresarse de forma un poco más sencilla, e incorporando cláusulas "en su clase".

Hay alguien en su clase ((xC)) sin Internet (¬I(x)) y () todos los demás de su clase ((yC{x})) tienen Internet (I(y)):

(xC)((¬I(x)(yC\{x})I(y))

(a) No todos los alumnos de tu clase tienen conexión a Internet.

x(¬I(x))

b) Todos los alumnos de tu clase, excepto uno, tienen de Internet.

yz(yzI(z))

Answer 4

Umm... cuando estudié lógica matemática allá en mi uni, teníamos cuantificación exacta expresado como $!$

Por lo tanto $I(x)$ === "x tiene conexión a internet" , $P$ === "alumnos" . Entonces, a) se representa como

$$ \exists x(x \in P \land \neg I(x)) $$

y b) se representa como $$ \exists!x(x \in P \land \neg I(x)) $$

La diferencia entre ellos estriba únicamente en la exactitud de la segunda afirmación: no es "no todo el mundo", es "exactamente uno" el que no tiene internet.

Nosotros, sin embargo, utilizamos una notación ligeramente diferente:

$$ x \in P $$ $$ \exists ! x : I(x) = false $$

que, posiblemente, se lee con más naturalidad.