¿Es la variante de la imagen directa matemáticamente significativa?

Question

Las preimágenes tienen la propiedad de que para una función arbitraria $f : X \rightarrow Y$ y todos $B \subseteq Y$ sostiene que $$f^{-1}(B^c)=[f^{-1}(B)]^c.$$

Sin embargo, la afirmación análoga para las imágenes directas es falsa. Así, tenemos dos definiciones de imagen directa; la habitual, y una variante. $$f_*(A) = \{b \mid \exists a \in X : a \in A \,\wedge\, f(a)=b\}$$ $$f_\diamond(A) = \{b \mid \forall a \in X : a \in A \,\vee\, f(a) \neq b\}$$

Ahora pienso (aunque no lo he demostrado) que, para todas las funciones $f$ se sostiene que $f_* = f_\diamond$ si $f$ es un inyección bijection. Nótese también que, bajo estas definiciones, tenemos $$f_*(A^c) = [f_\diamond(A)]^c, \quad f_\diamond(A^c)=[f_*(A)]^c.$$

He aquí otra observación. Si $X$ y $Y$ son espacios topológicos, entonces tenemos que $f_*$ preserva la apertura si $f_\diamond$ preserva la cerrazón, y viceversa.

De acuerdo, pero $f_\diamond$ tienen algún real ¿significado matemático? Por ejemplo, ¿aparece de forma natural en algún teorema interesante, etc.? Si es así, ¿cuál es la terminología/notación estándar, y dónde puedo aprender más?

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Anexo . Dos mapas relacionados son $f_\cap(A) := f_*(A) \cap f_\diamond(A)$ y $f_\cup(A) := f_*(A) \cup f_\diamond(A).$ Si alguien sabe dónde puedo obtener más información, por favor, deje un comentario. Nótese que los cuatro conceptos coinciden en el caso de las biyecciones.

Answer 1

La variante de imagen directa es cuantificación universal. Así que si crees que la cuantificación universal es significativa...

Para explicarlo, dejemos que $X, Y$ sean conjuntos y que $f : X \times Y \to Y$ sea la proyección sobre la segunda coordenada. Si $\varphi(x, y)$ es cualquier proposición que implique variables $x \in X, y \in Y$ y luego recorta un subconjunto de $X \times Y$ (es decir, el subconjunto para el que $\varphi(x, y)$ es verdadera). Los correspondientes subconjuntos de imágenes directas y variantes directas en $Y$ son precisamente los subconjuntos de $Y$ recortada por los enunciados cuantificados existencial y universalmente $\exists x : \varphi(x, y)$ y $\forall x : \varphi(x, y)$ respectivamente.

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De forma mucho más general, dejemos que $F : C \to C'$ ser un functor entre dos categorías y que $D$ sea otra categoría. Entonces $F$ induce un functor $D^{C'} \to D^C$ entre categorías de funtores . A la izquierda adjunto a este functor, si existe, se llama extensión del Kan izquierdo a lo largo de $F$ y un adjunto derecho se llama extensión del Kan derecho .

Ahora dejemos que $C, C'$ sean conjuntos considerados como categorías discretas (categorías con sólo morfismos de identidad), y sea $D = \{ 0 \to 1 \}$ sea la categoría con dos objetos $0, 1$ y un único morfismo no identitario $0 \to 1$ . $D$ es un poset, y también lo son las categorías de funtores $D^C, D^{C'}$ que se identifican naturalmente con el conjunto de subconjuntos de $C, C'$ en la inclusión. Si $F : C \to C'$ es un functor (por tanto, sólo un mapa de conjuntos), el functor inducido $D^{C'} \to D^C$ es el functor de preimagen habitual, la imagen directa habitual es la extensión Kan izquierda a lo largo de $F$ y la variante del functor de imagen directa es la extensión Kan derecha a lo largo de $F$ .

La extensión Kan izquierda y derecha son omnipresentes en las matemáticas; Mac Lane dijo famosamente que subsumen todos los demás conceptos fundamentales de la teoría de categorías. Así que es un poco difícil dar ejemplos porque hay muchos. Este ejemplo es el más sencillo que conozco.