He encontrado el siguiente ejercicio en Haim Brezis del libro Análisis Funcional, Espacios de Sobolev y Ecuaciones Diferenciales Parciales. Me siento como he resuelto el problema, pero no estoy seguro.
El problema es:
Deje $E,F$ dos espacios de Banach con las normas de $\|\cdot \|_E,\| \cdot \|_F$. Suponga que $E$ es reflexiva. Deje $T :E \to F$ ser un operador compacto. Considerar en $E$ otra norma $| \cdot |$ más débiles que los $\|\cdot \|_E$, es decir,$|u|\leq C \|u\|_E$. Demostrar que para cada $\varepsilon >0$ ther existe $C_\varepsilon>0$ tal que $$ \|Tu\|_F \leq \varepsilon \|u\|_E +C_\varepsilon |u| $$
Mi planteamiento es el siguiente: Supongamos que la conclusión no se sostiene. A continuación, hay un $\varepsilon>0$ y una secuencia $u_n$ $E$ tal que $$ \|Tu_n\|_F > \varepsilon \|u_n\|_E+n|u_n|$$
Podemos normalizar la secuencia tal que $\|Tu_n\|=1$. A continuación, $u_n$ está delimitado en $E$, y debido a $E$ es reflexiva, a continuación, sin pérdida de generalidad podemos suponer que $u_n$ converge débilmente a $u \in E$. Desde compacto operadores mapa débilmente secuencias convergentes hacia fuertemente convergentes secuencias de ello se sigue que $Tu_n \to Tu$$F$, lo $\|Tu\|_F=1$, lo que significa que $u\neq 0$.
Por otro lado $|u_n|<1/n$, de modo que $u_n$ converge a $0$ en los más débiles de la norma $|\cdot |$. Es esto suficiente para demostrar que $u=0$ y llegar a una contradicción?
Si mi enfoque no conduce a un buen final, entonces ¿qué más debo hacer?
