Estoy familiarizado con Rudin del libro es la prueba de que el hecho de que, en $\sigma$-finito medir los espacios, y para $p\in[1,+\infty)$, el doble de espacio de $L^p$ $L^q$ donde $p,q$ son conjugadas, es decir,$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Yo debería ser capaz de entenderlo - no he leído a través de la totalidad de ella con cuidado para estar seguro todavía, pero en un rato. La pregunta es, de todos modos no se trata de que el dado prueba, sino más bien de un suplente y de la manera más simple prueba de que he pensado que, visto como mi maestro y el libro de ir a través de un número adicional de contorsiones para demostrar el teorema, parece ser errónea.
Permítanme esbozar el libro de la prueba. En primer lugar, inicia con finito de medir los espacios. Toma indicador funciona como un inicio, y demuestra que, para una funcional lineal continua $\Phi:X\to\mathbb{R}$, $X$ siendo el espacio en el que construimos $L^p(X,\mathcal{E},\mu)$, $\lambda(E):=\Phi(\chi_E)$ es una medida en $X$, y es absolutamente continua con respecto a $\mu$, encontrando una función medible que es una densidad de la medida $\lambda$, es decir, el Radon-Nikodym derivado $g=\frac{\mathrm{d}\mu}{\mathrm{d}\lambda}$ $\mu$ con respecto al $\lambda$, gracias a la Radon-Nikodym teorema. Así que él dice: bien, esto demuestra que, para cada medibles función del indicador de $\chi$, se tiene: $$\Phi(\chi)=\int\limits_X\chi\cdot g\mathrm{d}\mu,$$ así que si podemos demostrar que esto representa para cada función en $L^p$ (es decir, la igualdad tiene al $\chi$ está sustituido con cualquier $f\in L^p$), el resultado es probada. El hecho de que cuenta para los indicadores significa que tiene para las funciones simples, por la linealidad de ambos lados. Entonces él dice que esto implica el mismo para todos los $L^\infty$ funciones, y pasa, la división de las cosas en dos de los casos, para mostrar esto puede ser extendido a todas las $L^p$,$\|\Phi\|=\|g\|_q$.
Yo estaba pensando: él ha demostrado que las funciones simples, llame a su familia $S$, son densos en $L^p$ todos los $p$, es decir,$\overline S=L^p$, donde el cierre se realiza en $L^p$. No podemos simplemente decir que, por la continuidad de ambos lados, $\{\Phi=T_g\}$ es cerrado en $L^p$ donde $T_g(f)=\int fg\mathrm{d}\mu$, y por lo tanto, como el conjunto contiene a $S$, debe contener su $L^p$-cierre, que es $L^p$, y la conclusión de la prueba de que manera? Quiero decir, $\Phi$ es continua por la hipótesis. La integral se ve muy "inocente" y es probable que sea continuo, incluso sin demostrando $g\in L^q$.
Vamos a ver si el lado derecho es en realidad continua. Definitivamente es continua en a $L^\infty$, ya que las aproximaciones de $L^\infty$ funciones por funciones simples son uniformemente convergentes a las funciones, por lo que el límite y la integral puede ser permutada, dando continuidad. Tome $f\geq0$$f\in L^p$. Tenemos $s_n\geq0$ simple $L^p$ funciones $s_n\to f$ pointwise. La convergencia es monótona, entonces por el teorema de convergencia monótona tenemos que limitar e integral de hecho, de camino al trabajo. Si $f$ no es no negativo, puedo dividir a $X=P\cup N$ donde$P=\{f\geq0\}$$N=\{f<0\}$. Estos son disjuntas. Fácilmente se puede construir sencillas funciones de $s_n\to f$ tal que $s_n\downarrow f$$N$$s_n\uparrow f$$P$, o en definitiva, $|s_n|\uparrow|f|$ en todas partes. Por el teorema de convergencia monótona: $$\int_Xgs_n\mathrm{d}\mu=\int_P|gs_n|\mathrm{d}\mu-int_N|gs_n|\mathrm{d}\mu\uparrow\int_P|fg|\mathrm{d}\mu-\int_N|fg|\mathrm{d}\mu=\int_Xfg\mathrm{d}\mu.$$ Esto nos da la continuidad de la mano derecha, como queríamos. Por cierto, incluso si $g$ no es no negativo, puedo dividir a $X$, de la misma manera para conseguir la convergencia no negativos $f$s, y entonces yo podría dividir $X$ a 4 para el caso general, el argumento sería el mismo pero con 4 piezas en lugar de 2.
Pero entonces, uno puede decir, ¿por qué debería funciones en $L^1\smallsetminus L^q$ no dar contnuous funcionales? Mi única respuesta es que aquellos no ser $X\to\mathbb{R}$ sino $X\to\mathbb{R}\cup\{+\infty,-\infty\}$. Sin embargo, sería necesario probar todos los $f\in L^1\smallsetminus L^q$ da como una de las funciones, es decir, que para todos los $f$s no es un $g\in L^p$ de manera tal que la integral del producto es infinita, lo que parece un largo camino por recorrer. así que tal vez debería ceñirse a Rudin la prueba.
Yo de todos modos pido esto porque tengo curiosidad. Lo que está mal aquí? Me estoy perdiendo algo que es obvio?
Actualización: Leyendo más detenidamente, me di cuenta de las "distorsiones" que me estaba refiriendo, y en el caso de la división, son para probar la igualdad de las normas, y que $g\in L^q$. A continuación, Rudin dice: "de ello se deduce que ambos son continuos". Así que mi pregunta sigue siendo: ¿qué pasaría si $g\not\in L^q$? Tendría continuidad no? OK, tal vez el funcional no se limita, pero sería continua?
