Es el contrario de esta afirmación verdadera?

Question

sabemos que:

Las proporciones de la escala funcionales son la ubicación y la escala invariante.

Mi pregunta es: ¿es cierto que cada escala y ubicación invariantes funcionales se pueden escribir como el cociente de dos escala y la ubicación equivariant funcional?

Me parece lógico, pero no puedo encontrar una fuente o una prueba de para esto.

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Editar:

para responder a whuber la pregunta de abajo. Aquí me refiero funcional en el sentido estadístico; e.g un mapa a partir de un conjunto de probabilidad las distribuciones de los números reales. Los ejemplos incluyen la media funcional $\mu$:

$$\mu(F)=\int_{-\infty}^{\infty}xdF(x),$$

en el conjunto de distribuciones finito primeros momentos o la variación funcional $\sigma^2$:

$$\sigma^2(F)=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu(F))^2dF(x).$$

Un no-negativo funcional $T$ es una escala funcional si

$$T(G)=|\lambda|T(F)$$

al $G(x)=F((x-\mu)/\lambda)$ $\lambda\neq0$ (es decir, si $T$ es escala equivariant y cambio invariante).

Un funcional $T$ es una escala y cambio invariante si

$$T(G)=T(F)$$

al$G(x)=F((x-\mu)/\lambda)$$\lambda\neq0$.

Answer 1

Aquí está mi comprensión de la terminología. $\mathcal{X}$ es el conjunto de todas las distribuciones en la recta real. Para $F\in\mathcal{X}$, $\mu\in\mathbb{R}$,y $\sigma\in\mathbb{R}-{0}$, definir una transformación de $F\to F$ a través de

$$(T_{\mu,\sigma}(F))(x) = F((x-\mu)/\sigma)(x)$$

para todos los $x\in \mathbb R$. (Esta es la acción del grupo afín de la línea real inducida en el conjunto de medidas sobre la recta real.) Un funcional S es un mapa de $S:\mathcal{X}\to \mathbb{R}$. Es invariante cuando

$$S[T_{\mu,\sigma}(F)] = S[F]$$

para todos $F$, $\mu$, y $\sigma$, y es equivariant cuando

$$S[T_{\mu,\sigma}(F)] = |\sigma|S[F]$$

para todos los degenerada $F$, $\mu$, y $\sigma$.

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La idea es encontrar un lugar natural y la escala para todas las distribuciones. Aquí hay una manera.

Para todos los $F$$0\lt q \lt 1$, el conjunto de $$\{x\in \mathbb{R}\,|\, F(x)\ge q\}$$ is nonempty and must have a lower bound, whence it has a greatest lower bound $F_{[q]}$. Define $$m(F) = F_{[1/2]}.$$ The set $$\{x\in \mathbb{R}_{+}\,|\, F(m(F)+x) - F(m(F)-x)\ge q\}$$ is bounded below by $0$ and nonempty, whence it must have a greatest lower bound $F^\prime_{[q]}$. Moreover, for $p$ sufficiently large, this glb must be strictly positive provided $F$ is nondegenerate. The set of such $p$ for which $F^\prime_{[q]} \gt 0$ has a greatest lower bound $p^\prime_F$. Define $$s(F) = F^\prime_{[(1-q)/2]}.$$

De ello se desprende que $m(F)$ (la ubicación) y $s(F)$ (la escala) están bien definidas y $s(F)\gt 0$.

Es sencillo comprobar que

$$m(T_{\mu,\sigma}(F)) = m(F) + \mu$$

y

$$s(T_{\mu,\sigma}(F)) = s(F)|\sigma|$$

para $\sigma\ne 0$ (lo que hace que $s$ un equivariant funcional). La elección de $\mu=-m(F)$ $\sigma = 1/s(F)$ produce una transformación

$$Z: F \to F^{0} = T_{-m(F),1/s(F)} (F)$$

que está bien definido en todos los no-degenerada distribuciones. $F^{0}$ es la versión estandarizada de $F$ y

$$F = T_{m(F),s(F)}(F^{0}).$$

En otras palabras, cada degenerada de la distribución es un desplazado y versión a escala de su versión estandarizada.

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Aquí es una solución. Deje $S$ ser invariantes funcionales. Es inmediato que

$$S_1[F] = s(F)S[F^{0}]$$

define un equivariant funcional, exhibiendo

$$S = \frac{S_1}{s}$$

explícitamente como el cociente de dos equivariant funcionales, debido a que $S[F] = S[F^{0}]$.