Demostrar o refutar $(A + B) \cap C = (A \cap C) +(B \cap C)$

Question

Demostrar o refutar $(A + B) \cap C = (A \cap C) +(B \cap C)$

Quiero refutar esta afirmación.

$(A+B)$ es la diferencia simétrica y tiene la forma de $(A \cup B) \backslash (A \cap B)$

Empiezo por la izquierda que es $(A + B) \cap C $

Si tomo la definición de complemento de $(A+B)$ , yo habría

$[x: x \in A \cup B \land x \notin A \cap B]$

Así que me queda $A \cup B$

ahora voy a usar la ley distributiva $\cap C$ en $A \cup B$

El resultado sería $(A \cup C) \cap (B \cup C)$

$(A \cup C) \cap (B \cup C) \neq (A \cap C) +(B \cap C)$

porque en el medio tenemos $\cap$ a la izquierda y $+$ a la derecha... pero eso está mal.

¿Y si dejo que $ C = \emptyset$ ?

Entonces tendría $(A +B) \cap \emptyset = (A \cap \emptyset) +(B \cap \emptyset )$

Voy a empezar por la derecha esta vez .. porque ya he visto algunas propiedades y es similar a lo que hice semanas antes

$= (A \cap \emptyset) +(B \cap \emptyset )$

Ley universal de límites $A \cap \emptyset = \emptyset$

$= (\emptyset) +(\emptyset )$

Si tomo la diferencia simétrica de $= (\emptyset) +(\emptyset )$ es un conjunto vacío.

hmmm ahora que lo pienso...si lo planteo así parece que estoy demostrando que efectivamente son iguales.

$(A + B) \cap \emptyset$ [ley distributiva]

$(A \cap \emptyset ) + (B \cap \emptyset)$ [leyes del universo]

$( \emptyset ) + ( \emptyset)$ [diferencia simétrica]

que es un conjunto vacío...

Quiero refutar esta afirmación... pero ¿cómo?

edit: otro intento de este problema utilizando la definición de intersección de conjuntos

Demostrar o refutar $(A + B) \cap C = (A \cap C) +(B \cap C)$

Supongamos que $x \in (A +B) \cap C$ entonces $[x \in (A +B)] \cap C$ y tenemos $(x \in A + x \in B) \cap C$

Para $x \in A$ por la definición de intersección de conjuntos, tenemos $x \in A \land C$ y $x \in B \land C$

[tal vez para $x \in C$ por la definición de intersección de conjuntos, tenemos $x \in A \land C$ y $x \in B \land C$ ya que se distribuye C, no A. ]

Por definición de diferencia simétrica, tenemos $x \in A \land C + x \in B \land C$

Por lo tanto, $(A \cap C) +(B \cap C)$

¡¿Es esto correcto?!

Answer 1

Existe una dualidad entre conjuntos y funciones. $\cap$ se convierte en $\land$ , $\cup$ se convierte en $\lor$ , $+$ se convierte en $\text{ xor }$ , $\text{universe minus set}$ se convierte en $\lnot$ . Si quieres ser pedante, puedes convertir todo manualmente:

$$x \in (A + B) \cap C$$ $$x \in (A + B) \lor x \in C$$ $$(x \in A \text{ xor } x \in B) \lor x \in C$$

Los enunciados anteriores son equivalentes, lo mismo para el rhs:

$$x \in (A \cap C) + (B \cap C)$$ $$...$$ $$(x \in A \land x \in C) \text{ xor } (x \in B \land x \in C)$$

Sustituir $x \in A$ con $a$ , lo mismo para $B$ y $C$ .

$$(a \text { xor } b ) \land c \equiv (a \land c) \text{ xor } (b \land c)$$

Así es como se plantean estos problemas de conjuntos; basta con ver la expresión booleana dual.

Answer 2

Utilice la respuesta en #697330 pero con " $x \in A+B \iff (x \in A \cup B) \wedge \neg (x \in A \cap B) $ . El resto de la estructura es la misma y harás un poco más de cálculo proposicional, pero seguirás el mismo camino.