por qué

Question

¿Por qué no $\lim\limits_ {n\to \infty}\ (\frac{n+3}{n+4})^n$igual $1$?

Así que esta es la pregunta.

Me pareció realmente es igual a $e^{-1}$. Pude demostrar, usando algún reordenamiento y cancelar.

Sin embargo otra manera tomé fue esto:

$$\lim_ {n\to \infty}\ \left(\frac{n}{n+4}+\frac{3}{n+4}\right)^n$$

con el límite del primer término van a $1$ y el segundo a $0$. Así $(1+0)^n=1$ % no $e^{-1}$.

Answer 1

Debido a $1^\infty$ es complicado bestia. Tal vez el poder abruma la cantidad que es apenas más grande que $1$, pero se aproxima $1$, y la expresión completa es grande. O tal vez no...

Tal vez el poder abruma la cantidad que es menor que $1$, pero se aproxima $1$, y la totalidad de la expresión tiende a $0$ . O tal vez no...

En su caso, $$ {n+3\sobre n+4} = 1-{1\over n+4}. $$ Y, como se puede demostrar (como lo hizo): $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1-\estilo de texto{1\over n+4})^n = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\Bigl[ (1-\estilo de texto{1\over n+4})^{n+4}\cdot (1-{1\over n+4})^{-4}\Bigr] = e^{-1}\cdot1=e^{-1}.$$

Aquí, la convergencia de las $1-{1\over n+4}$ a 1 es demasiado rápido para las $n^{\rm th}$ de la energía para conducir de vuelta a $0$.

Answer 2

Otra manera de ver:

$\left(\frac{n+3}{n+4}\right)^n=\left(\frac{1+\frac{3}{n}}{1+\frac{4}{n}}\right)^n=\frac{\left(1+\frac{3}{n}\right)^n}{\left(1+\frac{4}{n}\right)^n}.$

Desde entonces, sigue $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{c}{n}\right)^n=e^c$,

$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+3}{n+4}\right)^n=\lim_{n\to\infty}\frac{\left(1+\frac{3}{n}\right)^n}{\left(1+\frac{4}{n}\right)^n}=\frac{e^3}{e^4}=e^{-1}. $$

Answer 3

Como David Mitra deja en claro en su respuesta, hay una pregunta más fundamental subyacente a su pregunta, que es:

• ¿por qué es $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (1 + 1/n)^n$ no es igual a $1$?

El mismo (falaz) de razonamiento como el das se aplica. Sin embargo, este límite se sabe que la igualdad de $e$, no $1$ (y el límite de $e^{-1}$ puede ser fácilmente obtenido a partir de ese límite, como David esencialmente muestra).

Como dice David, hay una tensión entre el término entre paréntesis que es tiende a $1$ desde arriba, y el poder de la $n$, que, cuando se aplica a cualquier fijo número $>1$, le dará más y más respuestas como $n$ aumenta.

Usted puede ser que desee considerar algunos otros relacionados con los límites para ver cómo se comportan, por ejemplo:

• $\displaystyle\lim_{n\to\infty} (1+1/n^2)^n$ .

• $\displaystyle \lim_{n\to\infty} (1 + 1/\log n)^n$ .

Answer 4

Mientras que intuitivamente parece "obvio" que $1^\infty$ tiene que ser uno, me permito a usted que $ \dfrac{n+3}{n+4} <1$. Entonces el significado de

$$\left(\frac{n+3}{n+4}\right)^n $$

es un número terminantemente menos de $1$ a una energía enorme. ¿Ahora, un número entre $0$y $1$ elevado a una potencia más grande consigue más pequeño y más pequeño, así que es aún evidente que se acerca a 1?