Cómo calcular $P (|X − Y | ≤ 1/6)$ ?

Question

$f_{X,Y} \left( x, y \right) = 1\quad \text{for}\quad 0≤x≤1,\ 0≤y≤1 $ y $0$ de lo contrario.

Cómo calcular $P \left( |X − Y | ≤ 1/6 \right)$ ?

Answer 1

Puedes resolverlo con algunas reformulaciones de tu condición inicial. En primer lugar, elimina el valor absoluto y sustitúyelo por un intervalo. Luego, toma la probabilidad para los valores hasta $1/6$ y restar la probabilidad para los valores hasta $-1/6$ . En el siguiente paso, hay que encontrar las integrales. Para ello, hay que pensar para qué puntos se cumplen las desigualdades. De ahí que divida $P[X-Y \le 1/6]$ en dos integrales. Evidentemente, la desigualdad es válida para todo $x \in [0,1/6]$ y $y \in [0,1]$ . Sin embargo, no es válido para todos los $x \in [1/6,1]$ pero se pueden encontrar fácilmente los valores reordenando la desigualdad de forma que se encuentre un intervalo para $y$ en función de $x$ . Para el otro término se mantiene $P[X-Y < -1/6]=P[Y-X \ge 1/6]$ . Ahora, hay que considerar de nuevo todos los valores para los que se cumple la desigualdad, pero hay que tener en cuenta el dominio de $y$ .

Una vez realizados todos estos pasos, lo único que queda es resolver las integrales, pero eso es fácil ya que la densidad es 1.

$\quad P[\left|X-Y \right| \le 1/6] \\ = P[X-Y \in [ -1/6,1/6] ] \\ = P[X-Y \le 1/6] - P[X-Y < -1/6] \\ = \int_{0}^{1/6} \int_{0}^{1}dxdy + \int_{1/6}^{1} \int_{x-1/6}^{1}dxdy - \int_{0}^{5/6} \int_{x+1/6}^{1}dxdy \\ = 47/72 - 25/72 = 11/36.$

Edit: He actualizado esta respuesta porque en el primer intento tomé integrales erróneas. Pero ahora es correcta :)