Tienes razón en que hay más que sólo la linealidad. El principio aquí es que para cualquier operador lineal $T$ en un espacio de $V$ sobre un campo $K$, el mapa de $\eta_T:\def\End{\operatorname{End}}K[X]\to\End(E)$ $\sum_ic_iX^i\mapsto\sum_ic_iT^i$ (sustitución del operador $T$ para el indeterminado $X$ o "evaluación en $T$") es una de morfismos de anillos: no sólo es $K$-lineal, pero también respeta la multiplicación: $\eta_T(PQ)=\eta_T(P)\circ\eta_T(Q)$. Para comprobar la validez de este es bastante formal de la materia: la forma en que el producto $PQ$ de polinomios se calcula sólo utiliza reorganizar/la combinación de los poderes de $X$ y escalares, y las mismas operaciones son válidos cuando se $X$ es sistemáticamente reemplazados por$~T$. Tenga en cuenta que un ejemplo particular es el de la conmutación de escalares y poderes: $aX^ibY^j=abX^iY^j=abX^{i+j}$, y la correspondiente igualdad de $aT^ibT^j=abT^{i+j}$ es válida porque la $T$ viajes con la multiplicación escalar, que es porque es un lineal operador. Tenga en cuenta que si se iba a tratar de hacer lo mismo para una no lineal operador en lugar de $T$, a continuación, el mapa resultante $K[X]\to E^E$ (ya no estamos en un endomorfismo como resultado, pero aún así un mapa de $E\to E$, y el conjunto de todos los mapas, es todavía un $K$ espacio vectorial) serían $K$-lineal, pero no respecto de la multiplicación.
Por cierto, me parece que uno puede hacer un poco mejor que en la citada prueba (que es la pieza central de Axler algo dudosa "abajo determinantes" de la demanda). Tenga en cuenta que es uno utiliza el primer lineal de dependencia que surge entre los vectores $v,Tv,T^2v,\ldots$, decir $0=c_0v+c_1Tv+\cdots+c_dT^d$, $c_d\neq0$ por minimality y después de dividir todo lo que uno puede suponer $c_d=1$. Esto significa que $p[T](v)=0$ donde $p=X^d+c_{d-1}X^{d-1}+\cdots+c_1X+c_0$, y no monic polinomio en$~T$ de menor grado se desvanece cuando se aplica a$~v$ (debido a que por la minimality suposición $v,Tv,\ldots,T^{d-1}v$ son linealmente independientes).
El subespacio $V'=\ker(p[T])$ contiene $v$, de modo que es distinto de cero, y es cerrado bajo la aplicación de la$~T$; va a ser todos los de$~T$ si $d=n$ (como sucede a menudo), pero en cualquier caso a partir de ahora se puede restringir nuestra atención a $V'$, y llame a $T'$ la restricción de $T$$V'$. A continuación, $p$ es el polinomio mínimo de a$~T'$: uno ha $p[T']=0$ (como puede ser visto usando ese $p[T](T^iv)=T^i(p[T](v))=T^i(0)=0$) y es el grado mínimo monic polinomio con esta propiedad. (Este mínimo polinomio de bienes es todo lo que va a ser utilizado.)
En esta situación no sólo no $p$ tiene alguna raíz que es un autovalor de a $T'$ y por lo tanto de $T$ (asumiendo que funciona a través de los números complejos), pero cada raíz de$~p$ es un autovalor (esto es cierto sobre arbitraria campos, aunque, por supuesto, sólo a través de algebraicamente cerrado campos se sabe de la existencia de tales raíces). He aquí por qué: si $\lambda$ es una raíz de$~p$ uno puede factor por $X-\lambda$ y escribir $p=(X-\lambda)q$ donde$\deg q=\deg p-1$, de modo que el grado razones mencionadas $q[T']\neq0$. Ahora $0=p[T']=(T'-\lambda I)\circ q[T']$, y cada vector en la (distinto de cero) la imagen de $q[T']$ es un autovector de a$~T'$ para el autovalor$~\lambda$, en otras palabras un autovector de a$~T$$~\lambda$ acostado en el subespacio$~V'$.
