Si $\int_0^1 e^{- \frac{nx}{1-x}} f(x) \; dx =0$ $n \geq 0$, entonces el $f=0$ $[0,1]$

Question

Supongamos que $f$ es continua en a $[0,1]$. Si $$ \int_0^1 e^{- \frac{nx}{1-x}} f(x) \; dx =0 $$ para $n \geq 0$, muestran que $f(x)=0$$[0,1]$.

Yo no estoy seguro de qué me debe estar esperando a hacer para demostrar esto. Sé $e^{-nx/(1-x)}$ converge pointwise a 0 en $[0,1]$. Pero esto no ayuda, así que yo creo. En el caso de que $n=0$,$\int_0^1 f(x) \; dx=0$. Pero esto muestra $f(x)=0$ donde $f(x)$ es no negativa o el valor no positivo. Stone-Weierstrass sólo parece complicar el asunto.

¿Qué debo empezar a pensar en resolver estos problemas?

Answer 1

Tenga en cuenta que la función $$ g : [0,1]\a \Bbb {R}, x \mapsto \begin {cases}e^{-x/(1-x)}, &x\neq 1\\ 0,&x=1\end {casos} $$ es continua.

Tu suposición es $\int_0^1 g^n (x)f (x)dx=0$ todos los $n \in \Bbb {N}_0$. Por linealidad, obtenemos $\int h (x)f (x)dx =0$ todos los $h\in A $ donde $A $ es el lineal lapso de todos los $g^n $$n\in\Bbb {N}_0$. Tenga en cuenta que $A $ es un álgebra que separa los puntos en $[0,1] $, y que contiene las constantes.

Además, el espacio de todos los $h $ $\int_0^1 h (x)f (x)dx=0$ es cerrado bajo la convergencia uniforme. Por Stone-Weierstrass, por lo tanto, obtener $\int_0^1 h (x)f (x)dx=0$ para todos los continuos $h$, por lo que el $\int_0^1 f^2dx =0$. Por lo tanto $f\equiv 0$ por la continuidad.

EDIT: Como se señaló anteriormente, $A$ separa los puntos en $[0,1]$ y contiene las constantes (no tanto difícil de ver, ya que $x \mapsto \frac{x}{1-x} = -\frac{1-x-1}{1-x} = -(1 - \frac{1}{1-x})$ es estrictamente creciente en a $[0,1)$). Además, dado que el conjunto de $\{g^n \mid n \in \Bbb{N}_0\}$ es cerrado bajo la multiplicación, $A$ es un álgebra.

Por lo tanto, la Stone-Weierstrass teorema muestra que para cada continuas $h : [0,1]\to \Bbb{R}$, hay una secuencia $(h_n)_n$ $A$ $h_n \to h$ uniformemente. Esto implica $0 = \int h_n f\, dx \to \int h f \, dx$ y, por tanto, $\int h f \, dx = 0$ como se afirmó anteriormente.

Answer 2

Usted debe primero probablemente no incluir $n$ en el polinomio. Usted acaba de asumir que $|p(x)-f(x)|<\epsilon$. A continuación, utilice el hecho de que $|e^{-nx/(1-x)}|\le 1$, por lo que (independientemente de $n$):

$$\left|\int_0^1e^{-nx/(x-1)}p(x)dx\right| < \epsilon$$

A continuación, establezca $q(x-1) = p(x)$ integrar por partes:

$$\int_0^1e^{-nx/(1-x)}q(x-1)dx = \left[e^{-nx/(1-x)}Q(x-1)\right]_0^1 + \int_0^1{ne^{-nx/(1-x)}Q(x-1)\over (x-1)^2}dx$$

Si conocemos $q(0) = 0$ (lo que significa que es $x^0$ plazo es cero) y $Q$ es cualquier antiderivate de $q$, por lo que podemos elegir es así que el término constante es cero, podemos ver que $Q(x-1)/(x-1)^2$ es de nuevo un polinomio. Y podemos seguir para integrar por partes. Este primer paso, se obtiene:

$$\int_0^1e^{-nx/(1-x)}q(x-1)dx = -Q(-1) + \int_0^1{ne^{-nx/(1-x)}Q(x-1)\over (x-1)^2}dx$$

Lo que desea es la última integral converge a cero, lo que demostraría que la $|Q(-1)| = |P(0)| < \epsilon$. Repitiendo esto se traduce en una estimación de los términos de $p(x)$.

Ahora uno sería, por supuesto, necesario para calcular el resultado de las repetidas integración por partes, por lo que esto se traduce en un uniforme de la estimación de $p(x)$ sólo en términos de $\epsilon$. Sabemos que es menos de la absoluta sumas de su coeficiente, por lo que necesita para asegurarse de que la estimación no dependen del grado de $p$.

Ahora utilizamos ese $q(0)=0$, para tratar el caso en que esto no nos tiene que separar de la polinomio. Nos gustaría resolver esto a través de la elección de un polinomio en la forma $C+q(x)$ lugar donde: $q(0)=0$ y tendríamos un plazo adicional de la integración por partes:

$$C\int_0^1 e^{-nx/(1-x)}$$

y nos gustaría que esto converge a cero también. El integrando converge uniformemente en cualquier subconjunto compacto del intervalo de $[0,1]$, y de cualquier modo, es acotada. Que es:

$$C\int_0^1 e^{-nx/(1-x)} = C\int_0^\eta e^{-nx/(1-x)}dx + C\int_\eta^1 e^{-nx/(1-x)}dx $$

donde el segundo término acercamientos cero y el absoluto de la primer término no es mayor que $C\eta$.

Answer 3

Aquí está una manera fácil de aplicar piedra wierstrauss.

Basada en la idea en los comentarios de @Thomas, vamos a $g(x) = e^{-x/(1-x)}$. A continuación, para cualquier polinomio $p$, tenemos $$ 0= \int_0^1 f(x) p(g(x)) $$

Si $p=f\circ g^{-1}$, entonces estamos hecho. Pero puede que no sea un polinomio. Así que vamos a aproximar con polinomios y ver qué pasa.

En primer lugar necesitamos un inversa para $g$. Resulta $$ \frac{\log(x)}{\log(x) -1} $$ hace el truco. Se puede comprobar que es continua, y es la inversa de a $g$.

Siguiente, tenga en cuenta que $h = f\circ g^{-1}$ es continua, por lo que elegir una secuencia de polinomios, $p_n$ que convergen uniformemente a $h$ a piedra-wierstrauss.

Ahora vamos a utilizar toda la potencia de piedra-wierstrauss. Porque el límite converge uniformemente, podemos conmutar límites. Es decir,

$$ \lim_n \int_0^1f(x) p_n(g(x))dx= \int_0^1\lim_nf(x) p_n(g(x))dx $$

Así que ahora todo lo que queda por hacer es poner juntos. Sabemos $$ \lim_n \int_0^1f(x) p_n(g(x))dx = 0$$ por el primer párrafo. También, $$ \int_0^1\lim_nf(x) p_n(g(x))dx = \int_0^1 f(x)f(x)dx = \int_0^1 f(x)^2 $$

Por lo $\int_0^1 f(x)^2=0$. Y la integral de una no-negativo de la función es igual a $0$ implica que la función fue de 0. Por lo $f = 0$.