Cómo demostrar esta suma $\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(n-k)}\binom{2(k-1)}{k-1}\binom{2(n-k-1)}{n-k-1}=\binom{2(n-1)}{n-1}$

Question

Sea $n\ge 2$ entero positivo, demuestre que $$I=\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{k(n-k)}\binom{2(k-1)}{k-1}\binom{2(n-k-1)}{n-k-1}=\binom{2(n-1)}{n-1}$$

He hecho estas obras $$I=\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{k}\binom{2(k-1)}{k-1}\binom{2(n-k-1)}{n-k-1}+\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{n-k}\binom{2(k-1)}{k-1}\binom{2(n-k-1)}{n-k-1}=\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{2}{k}\binom{2(k-1)}{k-1}\binom{2(n-k-1)}{n-k-1}$$

Answer 1

Tenga en cuenta la _Números catalanes se definen como \begin{align*} C_{n}&=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}\qquad\quad n\geq 0\\ \end{align*} con función generadora \begin{align*} C(z)=\sum\{n=0}^\infty C_nz^n=\frac{1}{2z}\left(1-\sqrt{1-4z}\right) \end{align*}

El LHS de la identidad binomial de OPs es a Producto de Cauchy de números catalanes

\begin{align*} \sum_{k=1}^{n - 1} C_{k-1}C_{n -k-1}\tag{1} \end{align*}

Como los productos de Cauchy se producen al multiplicar series, podríamos trabajar con funciones generatrices:

\begin{align*} C^2(z)=\sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{k=0}^{n}C_kC_{n-k}\right)z^n\tag{2} \end{align*}

Sea $[z^n]$ denotan el operador coeficiente.

Observamos con ayuda de (1) y (2) para $n\geq 2$

\begin{align*} [z^{n-2}]C^2(z)&=[z^{n-2}]\sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{k=0}^{n}C_kC_{n-k}\right)z^n\\ &=\sum_{k=0}^{n-2}C_kC_{n-2-k}\\ &=\sum_{k=1}^{n-1}C_{k-1}C_{n-1-k}\\ \end{align*} o \begin{align*} [z^{n-2}]C^2(z)&=[z^{n-2}]\left(\frac{1}{2z}\left(1-\sqrt{1-4z}\right)\right)^2\\ &=[z^{n-2}]\frac{1}{2z^2}\left(1-\sqrt{1-4z}\right)-1\\ &=[z^{n-1}]\frac{1}{2z}\left(1-\sqrt{1-4z}\right)\\ &=[z^{n-1}]C(z)\\ &=C_{n-1}\\ &=\frac{1}{n}\binom{2n-2}{n-1}\\ \end{align*} y se cumple la afirmación.

Answer 2

Se trata de una identidad de convolución. Usted puede considerar que: $$ \sum_{k\geq 1}\frac{x^k}{k}\binom{2k-2}{k-1} = \frac{1-\sqrt{1-4x}}{2}\tag{1}$$ se cumple como consecuencia de la función generadora de Números catalanes .
Si elevas al cuadrado ambos lados de $(1)$ y considerar el coeficiente de $x^n$ lo tendrás: $$ \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(n-k)}\binom{2k-2}{k-1}\binom{2(n-k)-2}{(n-k)-1} = [x^n]\left(\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2}-x\right) \tag{2}$$ y para $n\geq 2$ el lado derecho de $(2)$ es sólo $\color{red}{\frac{1}{n}\binom{2n-2}{n-1}}=\color{blue}{\frac{1}{2n-1}\binom{2n-1}{n}}$ por $(1)$ .