Si $(a,b)=1$ , demuestre que $(a^2+b^2,a+b)=1$ o $2$ .

Question

Si $(a,b)=1$ , demuestre que $(a^2+b^2,a+b)=1$ o $2$ .

Hasta ahora, he dejado que

$d=(a^2+b^2,a+b)$

$\implies d|(a^2+b^2-(a+b)^2)$

$\implies d|(a^2+b^2-(a^2+2ab+b^2))$

$\implies d|(-2ab)$

He escuchado de otras personas que esto de alguna manera lleva a una conclusión, pero no lo estoy viendo. Alternativamente, ¿hay alguna otra forma de mostrarlo?

EDIT(10:41PM):

Acabo de notar que $(a^2+b^2\pm (a+b)(a-b),a+b)$ resultados en $d|2a^2$ y $d|2b^2$ .

$\implies d|(2a^2,2b^2)$ .

$\implies d|2(a^2,b^2)$ .

Ahora sólo tengo que entender bien por qué

$(a,b)=1\implies (a^2,b^2)=1$ .

En cierto modo, lo entiendo intuitivamente.

Answer 1

Pista: ¿Qué contradicción puedes obtener si $d|a$ o $d|b$ pero $d \neq1$ ?

Answer 2

Lema 1: Si $\gcd(a,b)=1$ entonces $\gcd(a^2,b^2)=1$ .

Prueba: Demostraremos el contrapositivo. Supongamos que $\gcd(a^2,b^2)>1$ . Entonces $a^2$ y $b^2$ debe tener un divisor común primo, digamos $p$ . Desde $p|a^2$ , el lema de Euclides implica que $p|a$ . De la misma manera, $p|b$ . Así, $p$ es un divisor común de $a,b$ y así $\gcd(a,b)>1$ .

Lema 2: Si $\gcd(u,v)=1$ entonces $\gcd(u+v,u-v) \leq 2$ .

Prueba: Dejemos que $d$ sea un divisor común de $u+v$ y $u-v$ . Entonces $d|(u+v+u-v)$ y así $d|2u$ . Además, $d|(u+v-(u-v))$ y así $d|2v$ . Así, $d|\gcd(2u,2v)$ . Pero $\gcd(2u,2v)=2\gcd(u,v)=2$ . De ello se desprende que $\gcd(u+v,u-v) \leq 2$ .

Dados estos dos lemas, demostraremos el enunciado del problema. Dado que $\gcd(a,b)=1$ , $\gcd(a^2,b^2)=1$ por el lema 1. Ahora, fijando $u=a^2$ , $v=b^2$ en el lema 2, podemos ver que $\gcd(a^2+b^2,a^2-b^2) \leq 2$ .

Por último, supongamos que $d$ es un divisor común de $a^2+b^2$ y $a+b$ . Porque $d|(a+b)$ , $d|(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ . Así que $d$ es un divisor común de $a^2+b^2$ y $a^2-b^2$ . De ello se desprende que $d \leq 2$ completando la prueba.

Answer 3

Consideremos el caso en el que a y b son Impares. En este caso, como d divide a (-2ab), y a y b son coprimos, la condición se convierte en d divide a a o d divide a b o d divide a 2. Si d divide a, entonces d | ( (a+b)-a ), y por tanto d divide a b, una contradicción ya que a y b son coprimos. Por lo tanto, d divide a 2; d es 1 o 2.

Consideremos a continuación el caso en el que a es par, b es impar. (Expresamos a como (2^n)(c), donde c es un entero positivo impar y n es un entero positivo. Entonces d divide (-2ab) es equivalente a d divide (2a) o d divide b (ya que 2a y b son coprimos). Si d divide a b, entonces por un razonamiento similar al anterior d dividiría a, lo que lleva a una contradicción. El caso restante es que d contenga 2^(n+1) como factor; sin embargo, eso no puede ser cierto, ya que d divide a (a+b), que es impar. Por lo tanto, según el primer caso d divide a 2; d es 1 o 2.

Answer 4

Muchas preguntas sobre gcd pueden responderse encontrando una forma de utilizar el algoritmo euclidiano. Con el algoritmo euclidiano me refiero a $(a, aq+r) = (a,r)$ .

Aquí, $a$ es interpretado por $a+b$ , $q$ es interpretado por $a-b$ y $r$ es interpretado por $2b^2$ . El algoritmo euclidiano implica entonces que $$(a+b, (a+b)(a-b) + 2b^2) = (a+b, 2b^2).$$

Esto se lee como $(a^2+b^2, a+b) = (a+b, 2b^2)$ . La conclusión debería ser ahora clara.