¿Principio matemático detrás de ANOVA?

Question

Estoy escribiendo esta pregunta sobre el principio matemático detrás de ANOVA.

Mi conocimiento de ANOVA viene de un negocio estadísticas de libro de texto, como uno se puede imaginar, no ir demasiado profundo en los principios subyacentes.

Entiendo la mecánica de la computación de la F de estadísticas, estoy teniendo un tiempo difícil entender por qué debe tener la distribución F como su distribución muestral.

Entiendo que la distribución F es el cociente de dos chi-cuadrado de las variables dividida por sus grados de libertad, pero no entiendo por qué el MST y el MSE (el numerador y el denominador de F) de la siguiente manera el Chi cuadrado distribuciones con las grado de libertades.

Yo podría haber perdido sólo algunas cosas muy básicas, mis disculpas de antemano si esto es una pregunta estúpida.

Answer 1

Me gustaría animar a la OP a separar conceptualmente la matemática y la estadística de los principios de análisis de VARIANZA.

Principios matemáticos de ANOVA

Considerar la variable $Y_k, \; k = 1, \ldots, N,$ con varianza de la muestra $s^2 = \sum_{k = 1}^N (Y_k - \bar{Y}_{\centerdot})^2.$ Ahora considere una agrupación índice $i = 1, \ldots, I$ sin un significado concreto que divide $1, \ldots, N$ a igual (por conveniencia) grupos de tamaño $n$. Entonces podemos reescribir la varianza como $$s^2 = \sum_{i = 1}^I \sum_{j = 1}^n (Y_{ij} - \bar{Y}_{\centerdot \centerdot})^2/(N - 1).$$ Esta es la misma cantidad exacta con un diferente esquema de indexación. Las siguientes dos operaciones de resta y agregar el grupo de medios, y la expansión de la plaza (se necesita la demostración de que el producto va a cero), es totalmente algebraicas:

$$\begin{align*} (N - 1)s^2 &= \sum_{i = 1}^I \sum_{j = 1}^n (Y_{ij} - \bar{Y}_{i \centerdot} + \bar{Y}_{i \centerdot} - \bar{Y}_{\centerdot \centerdot})^2 \\ &= n\sum_{i = 1}^I (\bar{Y}_{i \centerdot} - \bar{Y}_{\centerdot \centerdot})^2 + \sum_{i = 1}^I \sum_{j = 1}^n (Y_{ij} - \bar{Y}_{i \centerdot})^2. \end{align*}$$ Las matemáticas no se preocupa de la interpretación de estos términos, y la descomposición siempre funciona (al menos para el diseño).

Principios de la estadística de ANOVA

Hasta ahora, en este ejemplo, no solo la distribución de la declaración fue hecha acerca de $Y_k$ o de la re-indexado $Y_{ij}$, y eso es debido a que la matemática de la descomposición no necesita. Una estadística dispositivo, la hipótesis nula de que no hay efectos de grupo, junto con la suposición de normalidad, conduce a $Y_{ij} \sim N(\mu, \sigma^2)$ todos los $i, j$.

No voy a ir a través de cada paso en el camino de la estadística F, pero tenga en cuenta que la varianza de la muestra de $\bar{Y}_{i \centerdot}$$\sum_{i = 1}^I (\bar{Y}_{i \centerdot} - \bar{Y}_{\centerdot \centerdot})^2 / (I - 1)$, y, cuando se escalan por la constante apropiada, tiene un $\chi_{I-1}^2$ distribución. Usted probablemente puede "ver" esta cantidad en la descomposición anterior, y así como sugerencias de la estadística F si se divide el primer término por el segundo.

En Casella y Berger texto de la Inferencia Estadística, tanto en $t$ $F$ distribuciones son introducida en virtud de la sección "Las Distribuciones Derivadas." Hasta donde yo sé, la distribución F se deriva ad hoc (de una escala de proporción de $\chi^2$ variables aleatorias) para los propósitos de la prueba de ANOVA hipótesis nula.