¿Es cierto que existe una biyección entre planos a través de origen en $\mathbf R^3$ y la proyectiva plano $P^2 (\mathbf R)$? Es una observación en una nota de la Conferencia que estoy leyendo. He intentado probarlo pero parece ser un error. Mi idea era intersectar tal avión con disco en origen pero entonces muchos planos mapa a la misma clase de equivalencia en $P^2 (\mathbf R)$.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Esto es cierto, y de hecho, más es cierto.
$P^2(\mathbb R)$ es el conjunto de líneas a través de la procedencia en $\mathbb R^3$. Ahora, piense en los planos por el origen en $\mathbb R^3$. Todos los planos están completamente caracterizada por un vector normal (que es distinto de cero). Este vector normal abarca un subespacio de dimensión 1. Se puede ver la bijection ahora?
Para la diversión, piensa acerca de esto. $G(k,n)$ es el Grassmannian de $k$-planos por el origen en un espacio vectorial $V$ de la dimensión de $n$. Se puede encontrar un general de la dualidad como el que se encontró, pero entre el $G(k,n)$ e e $G(n-k,n)$?
Sugerencia: Piense en $V^*$ el doble de espacio vectorial
Seirios
Puntos
19895
Neal
Puntos
16536
Planos en $\mathbb{R}^3$ por el origen están en correspondencia uno a uno con líneas en $\mathbb{R}^3$ a través de $0$. La correspondencia se da tomando direcciones normales. Las líneas en $\mathbb{R}^3$ a través de $0$ son exactamente $P^2(\mathbb{R})$.
(Sólo por diversión, para ver cómo esto enlaza con la respuesta por Seirios, tenga en cuenta que si la ecuación de un plano es $ax + by + cz = 0$, $(a,b,c)$ es una dirección normal al plano. Dos ecuaciones $ax + by + cz = 0$ y $a'x + b'y + c'z = 0$ describen el mismo plano si y sólo si $[a:b:c] = [a':b':c']$ en $P^2(\mathbb{R})$.)
