Propiedad de $\dfrac{\sum a_i}{\sum b_i}$ cuando aumenta el $\dfrac{a_i}{b_i}$

Question

¿Usted puede probar la siguiente propiedad?

Que $a_i,b_i$ ser números reales positivos $i=1,2,\dots$, que $\dfrac{a_i}{b_i}$ es una secuencia creciente. A continuación:

1) la secuencia $s_n=\dfrac{\sum_{i=1}^n a_i}{\sum_{i=1}^n b_i}$ va en aumento.

2) además, $0<r<k<n$ contamos con: $$\dfrac{\sum_{i=1}^r a_i}{\sum_{i=1}^r b_i}<\dfrac{\sum_{i=1}^n a_i}{\sum_{i=1}^n b_i}<\dfrac{\sum_{i=k}^n a_i}{\sum_{i=k}^n b_i}$ $

Answer 1

Si $b_1b_2\gt0$$\dfrac{a_1}{b_1}\leqq\dfrac{a_2}{b_2}$, entonces la adición de $a_1b_1$ a ambos lados de los rendimientos $$ \begin{align} a_1b_2&\leqq a_2b_1\\ a_1(b_1+b_2)&\leqq b_1(a_1+a_2)\\ \frac{a_1}{b_1}&\leqq\frac{a_1+a_2}{b_1+b_2}\tag{1} \end{align} $$ y añadiendo $a_2b_2$ a ambos lados de los rendimientos $$ \begin{align} a_1b_2&\leqq a_2b_1\\ (a_1+a_2)b_2&\leqq a_2(b_1+b_2)\\ \frac{a_1+a_2}{b_1+b_2}&\leqq\frac{a_2}{b_2}\tag{2} \end{align} $$ Por lo tanto, $$ \frac{a_1}{b_1}\leqq\frac{a_1+a_2}{b_1+b_2}\leqq\frac{a_2}{b_2}\etiqueta{3} $$ donde $\leqq$ significa que si $\lt$ sostiene en la hipótesis, $\lt$ mantiene en la conclusión, y si $=$ sostiene en la hipótesis, $=$ retenciones en la conclusión.

El uso de $(3)$ e inducción da los resultados deseados.

Supongamos que $$ \frac{\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}a_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}b_k} \leqq\frac{a_{n-1}}{b_{n-1}} \leqq\frac{a_n}{b_n}\etiqueta{4} $$ a continuación, $(3)$ $(4)$ dar $$ \frac{\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}a_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}b_k} \leqq\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}b_k} \leqq\frac{a_n}{b_n}\etiqueta{5} $$ Las otras desigualdades han demostrado de manera similar.