Es bastante recta hacia adelante para resolver lineal de 1er orden ecuaciones en derivadas parciales por el método de las características. Por ejemplo, si
$\partial_tf+a\partial_xf=bf$ ,
tenemos que $\dfrac{df}{dt}=bf$ en la curva característica de $\dfrac{dx}{dt}=a$ . De esto podemos deducir que $f(t,x)=g(C)e^{bt}$ donde $x=at+C$ .
Ahora, ¿cómo funciona esto cuando $f$ es multidimensional. Puedo resolver ecuaciones de la forma siguiente por características, o por cualquier otro medio?
$\partial_tf_i(t,x)+\sum_jA_{ij}\partial_xf_j(t,x)=\sum_jB_{ij}f_j(t,x)$
donde los componentes de $A$ $B$ podría ser dependiente de $x$$t$.
En particular, estoy tratando de resolver el siguiente,
$\begin{cases}\partial_tf+\dfrac{c}{t}\partial_xg=-\left(a+\dfrac{1}{t}\right)f\\\partial_tg+\dfrac{c}{t}\partial_xf=-\left(b+\dfrac{1}{t}\right)g\end{cases}$
donde $f$ $g$ son funciones de la $x$$t$ , donde $t>t_0>0$ , $c\neq0$ . Cualquier ayuda es muy apreciada.
Edit: no importa la específica de la ecuación. Es estructurados a ser el resultado de una errónea de derivación. Pero todavía me pregunto si hay algún procedimiento para resolver la ecuación general de arriba.
