Lista de especies portadoras

Question

El vector (lineal) el espacio se define como un conjunto no vacío L sobre un campo F, donde dos relaciones (operaciones binarias) se definen:

1. Además

   $ \oplus: L \times L \longrightarrow L $

2. La multiplicación escalar

   $ \odot: F \times L \longrightarrow L $

Aunque llamamos a estas relaciones como la suma y la multiplicación escalar, tanto de estas relaciones puede tener formas arbitrarias, que no necesitan tener nada en común con la tradicional aprehensión de la adición y de la multiplicación (por ejemplo la adición y de la multiplicación de los números reales). Desde el punto de vista teórico son ambas operaciones sólo las asignaciones entre los dos conjuntos, cerrado en virtud de las relaciones que deben cumplir las siguientes condiciones (los axiomas de espacio lineal):

1. La asociatividad de la suma
2. Conmutatividad de la suma
3. Elemento de identidad de la suma
4. Existencia de elementos inversos
5. La distributividad de la multiplicación escalar con respecto a la adición de vectores
6. La distributividad de la multiplicación escalar suma respecto
7. Compatibilidad de la multiplicación escalar con campo de multiplicación
8. Elemento de identidad de la multiplicación escalar

Normalmente estamos trabajando con el espacio lineal de los números complejos $\mathbb{C}^n$, debido a que todos los espacios lineales de dimensión de $n$ son isomorfos. En otras palabras, podemos utilizar la aplicación lineal entre dos espacios lineales y de modo equivalente a resolver el problema en algunos bien conocidos espacio lineal (generalmente de $\mathbb{C}^n$) y, a continuación, transformarla.

Mi pregunta es: ¿Qué tipo de espacios lineales ¿sabes? Cuáles son los campos y las operaciones binarias componer el espacio lineal. Si puedes, por favor, también tenga en cuenta la aplicación física de un espacio lineal.

Me limitaré a resumir los que conozco:

1. Espacio vectorial $\mathbb{C}^n$, el campo de los números complejos $\mathbb{C}$

   Deje $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{C}^n$ $\alpha \in \mathbb{C}$ donde$\mathbf{x} = (x_1, x_2, ..., x_n)$$\mathbf{y} = (y_1, y_2, ..., y_n)$. La operación de adición $\oplus$ y la multiplicación escalar $\odot$ se definen como

   $\mathbf{x} \oplus \mathbf{y} \triangleq (x_1 + y_1, x_2 + y_2, ..., x_n + y_n)$

   $\alpha \odot \mathbf{x} \triangleq (\alpha \cdot x_1, \alpha \cdot x_2, ..., \alpha \cdot x_n)$

   (Nota: Además de símbolo y símbolo de punto en los corchetes denotan las operaciones de adición y multiplicación de números complejos.)

2. La función del espacio, el campo de los números complejos $\mathbb{C}$

   $ f \oplus g \triangleq f(x) + g(x) $

   $ \alpha \odot f \triangleq \alpha f(x)$

3. Espacio vectorial de los números reales positivos $\mathbb{R}^+$, el campo de los números reales $\mathbb{R}$

   $\mathbf{x} \oplus \mathbf{y} \triangleq x \cdot y$

   $\alpha \odot \mathbf{x} \triangleq x^{\alpha}$

4. Espacio vectorial de las matrices de $\mathbb{F}^{m \times n}$ sobre el campo $\mathbb{F}$

   $ (\mathbf{X} \oplus \mathbf{Y})_{i,j} \triangleq (\mathbf{X})_{i,j} + (\mathbf{Y})_{i,j}$

   $ (\alpha \odot \mathbf{X})_{i,j} \triangleq \alpha(\mathbf{X})_{i,j} $

Answer 1

Espacios vectoriales aparecen en muchos lugares. Sólo para mencionar algunos, que son muy importantes en sus respectivas áreas:

Cada extensión de campo $E:F$ da lugar a $E$ como un espacio vectorial sobre $F$. La dimensión de esta espacios vectoriales nos dice mucho sobre el tamaño de la extensión y de su comportamiento.

De Banach y de Hilbert espacios (extremadamente estructuras importantes en el análisis moderno) son espacios vectoriales con extra de estructuras.

En álgebra lineal en sí, el espacio vectorial de todas las transformaciones lineales de un espacio vectorial a otro, es un vector muy importante de espacio. El espacio vectorial de todas las $m\times n$ matrices es, por supuesto, estrechamente relacionados.

La lista va casi siempre desde espacios vectoriales son muy importantes, y aparecen a menudo. Una lista completa es probablemente imposible, y es ciertamente inútil. He intentado por encima de darte un par de consejos a los fundamentales de las apariciones de espacios vectoriales.