¿Cómo resuelvo la siguiente ecuación diferencial?

Question

$$\frac{d^2y}{dx^2}=x^2y$$

Resolverlo escribiendo una ecuación característica no me está ayudando a encontrar la solución a la ecuación anterior. Cualquier ayuda sería apreciada, gracias.

Answer 1

Una forma de hacerlo es expandiendo $y(x)$ como una serie:

$$ y(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n $$

Luego podemos escribir $y''(x)$ como:

$$ y''(x) = \sum_{n=2}^\infty c_n n (n-1) x^{n-2} $$

y $x^2 y(x)$ como:

$$ x^2 y(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n x^{n+2} $$

Ahora reparametrizamos las sumas para que tengan $x^n$ en la suma:

$$ y''(x) = \sum_{n=0}^\infty c_{n+2} (n+2) (n+1) x^n $$

$$ x^2 y(x) = \sum_{n=2}^\infty c_{n-2} x^n $$

Finalmente igualamos los coeficientes (siendo cuidadosos con los límites de las sumas):

$$ 2 c_2 = 0 $$

$$ 6 c_3 = 0 $$

$$ c_{n+2} (n+2) (n+1) = c_{n-2} \; \forall n \geq 2 $$

Podemos resolver esto reescribiendo la última línea como

$$ c_{n+4} = \frac{c_n}{(n+4)(n+3)} \; \forall n $$

y notando que podemos obtener dos soluciones independientes claras: una donde $c_0 = 1$ y $c_1 = 0$, y viceversa. En cualquier caso, para cualquier $n \equiv 2\mod 4$ o $n \equiv 3\mod 4$, tenemos $c_n = 0$.

La primera solución es:

$$ y(x) = 1 + \frac{1}{12} x^4 + \frac{1}{672} x^8 + \cdots $$

y la segunda solución es:

$$ y(x) = x + \frac{1}{20} x^5 + \frac{1}{1440} x^9 + \cdots $$

Answer 2

Las soluciones de esta ecuación diferencial son bien conocidas y pueden escribirse en términos de las funciones de cilindro parabólico. En particular, se puede encontrar que:

$$y(x) = A \, D_{-1/2} (\mathrm{i} \sqrt{2} x ) + B \, D_{-1/2} ( \sqrt{2} x ) $$ es la solución general de tu ecuación.

¡Espero que esto te ayude!

Answer 3

Intenta factorizar

$$ \left(\frac{d^2}{dx^2} - x^2\right) = \left(\frac{d}{dx}-x\right)\left(\frac{d}{dx}+x\right)-1 $$ Sospecho que las soluciones se pueden encontrar de manera similar a como se hace para el oscilador armónico cuántico.