Tenga en cuenta que esta suma es, de hecho,
$$2\sum_{m\ge 1} \frac{\coth m\pi}{m^{4p+3}}.$$
La suma plazo $$T_p(x) =
2\sum_{m\ge 1} \frac{\coth mx}{m^{4p+3}}$$
es armónico y puede ser evaluado por la inversión de sus Mellin transformar.
Observar que $$\coth x = \frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}
= 1 + 2\frac{e^{-x}}{e^x-e^{-x}}
= 1 + 2\frac{e^{-2}}{1-e^{-2}}.$$
Este rendimientos
$$T_p(x) = 2\zeta(4p+3) +
4\sum_{m\ge 1} \frac{1}{m^{4p+3}} \frac{e^{-2mx}}{1-e^{-2mx}}.$$
Ahora vamos a trabajar con
$$S(x) = \sum_{m\ge 1} \frac{1}{m^{4p+3}}
\frac{e^{-2mx}}{1-e^{-2mx}}$$
y establecer un funcional de la ecuación de $S(x)$ que ha $x=\pi$ como
punto fijo.
Recordar que el armónico suma de identidad
$$\mathfrak{M}\left(\sum_{k\ge 1} \lambda_k g(\mu_k x);s\right) =
\left(\sum_{k\ge 1} \frac{\lambda_k}{\mu_k^s} \right) g^*(s)$$
donde $g^*(s)$ es la transformada de Mellin $g(x).$
En el presente caso tenemos
$$\lambda_k = \frac{1}{k^{4p+3}},
\quad \mu_k = k \quad \text{y} \quad
g(x) = \frac{\exp(-2x)}{1-\exp(-2x)}.$$
Necesitamos la Mellin transformar $g^*(s)$ $g(x)$
el cual se calcula de la siguiente manera:
$$\int_0^\infty \frac{\exp(-2x)}{1-\exp(-2x)} x^{m-1} dx
= \int_0^\infty \sum_{q\ge 1} \exp(-2qx)\; x^{m-1} dx
\\ = \sum_{q\ge 1} \int_0^\infty \exp(-2qx)\; x^{m-1} dx
= \Gamma(s) \sum_{q\ge 1} \frac{1}{2^s p^s}
= \frac{1}{2^s} \Gamma(s) \zeta(s).$$
fundamentales de la tira de $\langle 1,\infty \rangle.$
De ahí el Mellin transformar $Q(s)$ $S(x)$ está dado por
$$ Q(s) = \frac{1}{2^s} \Gamma(s) \zeta(s) \zeta(s+4p+3)
\quad\text{porque}\quad
\sum_{k\ge 1} \frac{\lambda_k}{\mu_k^s} = \zeta(s+4p+3)$$
donde $\Re(s+4p+3) > 1$ o $\Re(s) > -4p-2$.
La intersección de los fundamentales de la tira y el semiplano de la zeta
la función de término nos encontramos con que el Mellin de inversión integral para una
la expansión sobre el cero es
$$\frac{1}{2\pi i} \int_{3/2-i\infty}^{3/2+i\infty} Q(s)/x^s ds$$
que evaluamos en la mitad izquierda del plano - $\Re(s)<3/2.$
La llanura zeta función plazo cancela los polos de la función gamma
plazo en el que incluso los números enteros negativos $2q\le -2$ y el compuesto zeta
la función de término de los polos impares enteros negativos $2q+1\le -4p-5$. Nosotros
se quedan con las aportaciones de $s=1$, $s=0$ y $s=-1$ cuales son
$$\begin{align}
\mathrm{Res}(Q(s)/x^s; s=1) & = \frac{1}{2x}\zeta(4p+4) \\
\mathrm{Res}(Q(s)/x^s; s=0) & = -\frac{1}{2}\zeta(4p+3) \\
\mathrm{Res}(Q(s)/x^s; s=-1) & = \frac{1}{6} x\zeta(4p+2).
\end{align}$$
El resto de las contribuciones son
$$\sum_{q=1}^{2p+1} \mathrm{Res}(Q(s)/x^s; s=-2t-1)
\\ = \sum_{q=1}^{2p+1} 2^{2t+1} x^{2t+1}
\frac{(-1)^{2t+1}}{(2q+1)!}
\zeta(-2t-1) \zeta(4p+2-2t)
\\ = \sum_{q=1}^{2p+1} 2^{2t+1} x^{2t+1}
\frac{1}{(2q+1)!}
\frac{B_{2t+2}}{2t+2}
(-1)^{2p+1-q+1} \frac{B_{4p+2-2t}(2\pi)^{4p+2-2t}}{2(4p+2-2t)!}
\\ = \sum_{q=1}^{2p+1} 2^{2t+1} x^{2t+1}
\frac{B_{2t+2}}{(2t+2)!}
(-1)^{-q} \frac{B_{4p+2-2t}(2\pi)^{4p+2-2t}}{2(4p+2-2t)!}
\\ = \sum_{q=2}^{2p+2} 2^{2t-1} x^{2t-1}
\frac{B_{t2}}{(2t)!}
(-1)^{q+1} \frac{B_{4p+4-2t}(2\pi)^{4p+4-2t}}{2(4p+4-2t)!}
\\ = 2^{4p+2} \sum_{q=2}^{2p+2} x^{2t-1}
\frac{B_{t2}}{(2t)!}
(-1)^{q+1} \frac{B_{4p+4-2t}\pi^{4p+4-2t}}{(4p+4-2t)!}
\\ = 2^{4p+2} \sum_{q=2}^{2p+2} x^{2t-1} \pi^{4p+4-2t}
\frac{B_{t2}}{(2t)!}
(-1)^{q+1} \frac{B_{4p+4-2t}}{(4p+4-2t)!}$$
y uno de los polos del compuesto zeta función plazo en
$s=-4p-2$ , lo que haremos en un momento.
Ahora, algunos de álgebra muestra que el establecimiento $q=0$ $q=1$ en la suma
produce, precisamente, los valores que hemos obtenido anteriormente para los polacos
en$s=1$$s=-1$, por lo que podemos extender la suma para comenzar de cero, manteniendo
sólo el residuo de la pole en $s=0$ para obtener
$$2^{4p+2} \sum_{q=0}^{2p+2} x^{2t-1} \pi^{4p+4-2t}
\frac{B_{t2}}{(2t)!}
(-1)^{q+1} \frac{B_{4p+4-2t}}{(4p+4-2t)!}.$$
Así hemos establecido que
$$S(x) = -\frac{1}{2}\zeta(4p+3)
+ \mathrm{Res}(Q(s)/x^s; s=-4p-2)
\\ + 2^{4p+2} \sum_{q=0}^{2p+2} x^{2t-1} \pi^{4p+4-2t}
\frac{B_{t2}}{(2t)!}
(-1)^{q+1} \frac{B_{4p+4-2t}}{(4p+4-2t)!}
\\ + \frac{1}{2\pi i}
\int_{-4p-4-i\infty}^{-4p-4+i\infty} P(s)/x^s ds.$$
Para el tratamiento de la integral recordar la duplicación de la fórmula de la gamma
función:
$$\Gamma(s) =
\frac{1}{\sqrt\pi} 2^{m-1}
\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)
\Gamma\left(\frac{s+1}{2}\right).$$
que los rendimientos de la integral
$$\int_{-4p-4-i\infty}^{-4p-4+i\infty}
\frac{1}{2\sqrt\pi}
\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)
\Gamma\left(\frac{s+1}{2}\right)
\zeta(s)
\zeta(s+4p+3)/x^s ds.$$
Además de observar la siguiente variante de la ecuación funcional
de la de Riemann zeta función:
$$\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s)
= \pi^{s-1/2} \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)
\zeta(1-s)$$
lo que da para la integral
$$\int_{-4p-4-i\infty}^{-4p-4+i\infty}
\frac{\pi^{m-1}}{2}
\Gamma\left(\frac{s+1}{2}\right)
\Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)
\zeta(1-s)
\zeta(s+4p+3)/x^s ds
\\ = \int_{-4p-4-i\infty}^{-4p-4+i\infty}
\frac{\pi^{s}}{2}
\frac{1}{\sin(\pi/2(s+1))}
\zeta(1-s)
\zeta(s+4p+3)/x^s ds.$$
Ahora pon $s=-4p-2-u$ para obtener
$$\int_{2-i\infty}^{2+i\infty}
\frac{\pi^{-4p-2-u}}{2}
\frac{1}{\sin(\pi/2(-4p-2-u+1))}
\\ \times \zeta(u+4p+3)
\zeta(1-u)/x^{-4p-2-u} du
\\ = \frac{x^{4p+2}}{\pi^{4p+2}}
\int_{2-i\infty}^{2+i\infty}
\frac{\pi^{-u}}{2}
\frac{1}{\sin(\pi/2(-(u+1)))}
\\ \times \zeta(u+4p+3)
\zeta(1-u)/x^{-u} du
\\ = - \frac{x^{4p+2}}{\pi^{4p+2}}
\int_{2-i\infty}^{2+i\infty}
\frac{\pi^{-u}}{2}
\frac{1}{\sin(\pi/2(u+1))}
\\ \times \zeta(u+4p+3)
\zeta(1-u)/x^{-u} du.$$
Hemos establecido la ecuación funcional
$$S(x) = -\frac{1}{2}\zeta(4p+3)
+ \mathrm{Res}(Q(s)/x^s; s=-4p-2)
\\ + 2^{4p+2} \sum_{q=0}^{2p+2} x^{2t-1} \pi^{4p+4-2t}
\frac{B_{t2}}{(2t)!}
(-1)^{q+1} \frac{B_{4p+4-2t}}{(4p+4-2t)!}
-\left(\frac{x}{\pi}\right)^{4p+2}\left(\frac{\pi^2}{x}\right).$$
Establecimiento $x=\pi$ hemos
$$S(\pi) = -\frac{1}{2}\zeta(4p+3)
+ \mathrm{Res}(Q(s)/\pi^s; s=-4p-2)
\\ + 2^{4p+2} \pi^{4p+3} \sum_{q=0}^{2p+2}
\frac{B_{t2}}{(2t)!}
(-1)^{q+1} \frac{B_{4p+4-2t}}{(4p+4-2t)!}
-\left(\frac{\pi}{\pi}\right)^{4p+2}\left(\pi\right)$$
y por lo tanto
$$S(\pi) = -\frac{1}{4}\zeta(4p+3)
+ \frac{1}{2} \mathrm{Res}(Q(s)/\pi^s; s=-4p-2)
\\ + 2^{4p+1} \pi^{4p+3} \sum_{q=0}^{2p+2}
\frac{B_{t2}}{(2t)!}
(-1)^{q+1} \frac{B_{4p+4-2t}}{(4p+4-2t)!}.$$
Para concluir hemos de tratar el residuo que hemos defered hasta ahora.
Recordar la forma alternativa de $Q(s)/\pi^s,$
$$\frac{\pi^{s}}{2}
\frac{1}{\sin(\pi/2(s+1))}
\zeta(1-s)
\zeta(s+4p+3)/\pi^s
\\ = \frac{1}{2}
\frac{1}{\sin(\pi/2(s+1))}
\zeta(1-s)
\zeta(s+4p+3).$$
De ello se desprende que el residuo de a $s=-4p-2$ es
$$\frac{1}{2}
\frac{1}{\sin(\pi/2(-4p-1))}
\zeta(4p+3)
= \frac{1}{2}
\frac{1}{\sin(-\pi/2)}
\zeta(4p+3) = -\frac{1}{2} \zeta(4p+3).$$
Este, finalmente, los rendimientos de $S(\pi)$
$$S(\pi) =
-\frac{1}{2}\zeta(4p+3)
+ 2^{4p+1} \pi^{4p+3} \sum_{q=0}^{2p+2}
\frac{B_{t2}}{(2t)!}
(-1)^{q+1} \frac{B_{4p+4-2t}}{(4p+4-2t)!}.$$
Computación $T_p(\pi)$ obtenemos así
$$2\zeta(4p+3)
-4\times\frac{1}{2}\zeta(4p+3)
+ 2^{4p+3} \pi^{4p+3} \sum_{q=0}^{2p+2}
\frac{B_{t2}}{(2t)!}
(-1)^{q+1} \frac{B_{4p+4-2t}}{(4p+4-2t)!}$$
o
$$(2\pi)^{4p+3} \sum_{q=0}^{2p+2}
\frac{B_{t2}}{(2t)!}
(-1)^{q+1} \frac{B_{4p+4-2t}}{(4p+4-2t)!},$$
QED.
La inspiración para este cálculo es a partir de la ponencia "Mellin
Transformar y sus Aplicaciones" por Szpankowski.
