La siguiente es la definición 12.2.6 en Vakil notas.
Un $k$-esquema de es $k$-suave de la dimensión $d$, lisas o de dimensión $d$ $k$ , si es pura dimensión $d$, y existe una cubierta afín a abrir conjuntos de $\operatorname{Spec} k[x_1,\dots , x_n]/(f_1,\dots, f_r)$ cuando la matriz Jacobiana tiene corank $d$ en todos los puntos.
La matriz Jacobiana en un punto de $p$ es el habitual de la matriz de parciales evaluadas en $p$.
En puntos cercanos, el cociente del anillo es un campo, por lo que contamos con un mapa de espacios vectoriales y la definición habitual de clasificación se aplica. Para un general de prime $P$, lo que significa aquí? Para Vakil, un anillo elemento $f\in R$ tiene el valor de $f\in R/P$ en el primer $P$. Pero en este caso general, sólo tenemos un mapa de los dominios, no los campos, y no me queda claro qué se entiende por corank aquí.
Una forma de interpretar esto es que ciertos menores de edad que desaparecer, pero no estoy seguro de si eso era lo que la intención de Vakil. Él define explícitamente el concepto de "corank" como dimensión de la cokernel.
