¿Hay una prueba corta que $F:x^3+y^3+z^3=0$ $\mathbf{P}^2$ no es racional, además el género? Tal vez se trata de una curva elíptica, por lo que cada morfismo $\mathbf{P}^n\rightarrow F$ es constante. ¿Esto me ayuda de alguna manera? Como dije más abajo, parece que es suficiente distinguir $\mathrm{Frac} \ \mathbf{C}[x,y]/(x^3+y^3-1)$ $\mathbf{C}(x)$, ¿cómo podemos hacer esto?
Respuestas
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Goethe
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Supongamos que $F$ fue birracional a $\mathbb{P}^1$, entonces porque son dos curvas suaves $\mathbb{C}$, tendríamos que $F\cong \mathbb{P}^1$. Pero, tenga en cuenta que cada abierto afine de $\mathbb{P}^1$, es una localización de $k[x]$ y por lo tanto una UFD. Dicho esto, $\mathbb{C}[x,y]/(x^3+y^3+1)$ es un abierto afine de $F$, que no es una UFD.
PD: Puede mostrar, en efecto, que cada abierto afine de cúbico que escribió abajo tiene grupo clase infinita.
QuentinUK
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Dos formas más:
El % diferencial $X^2dX + Y^2dY = -Z^2dZ$es holomorfa y desapareciendo en ninguna parte en su curva. Pero no hay tal diferencial $\mathbf P^1$.
(Éste es tonto). Observación que permutaciones de multiplicación de una %#% o $X,Y,Z$ $X,Y$ #% por una raíz cúbica de la unidad conserva la ecuación. Por lo tanto es un grupo finito de actuar de $Z$ de orden en su curva por automorfismos. ¿$6\times 3^3$ Tiene tal un subgrupo?
