Denso subconjunto de $C(X)$

Question

Estoy tratando de demostrar la siguiente proposición, pero necesito un poco de ayuda:

Deje $ (X,\rho)$ ser compacto de espacio métrico. Demostrar que existe un subconjunto compacto $K$ $C(X)$ cuyo lineal span es denso en $C(X)$

Gracias.

Answer 1

Sugerencias:

1. $C(X)$ es separable.
2. Dado cualquier secuencia en un espacio de Banach, puede cambiar la escala de los términos de la secuencia, de modo que converge a 0.
3. En cualquier espacio métrico. si $x_n \to x$, $\{x_n\} \cup \{x\}$ es compacto.

Answer 2

Nate la respuesta es hábil, pero yo soy un lento pensador que no habría sido capaz de descubrir su ruta (yo prefiero la palabra de la ruta a través de la palabra truco, cuyo uso es de carácter subjetivo). Voy a dar una solución que apela sólo a los principiantes analista del conocimiento de la Arzelà-Ascoli Teorema de Stone-Weierstrass Teorema. Esto ocurre a construir sobre Thomas idea, que, por desgracia, no fue capaz de llevar hasta el final.

Para cada una de las $ a \in A $, definir una 'distancia' de la función $ \phi_{a}: X \to \mathbb{R}_{\geq 0} $ por $$ \forall x \in X: \quad {\phi_{un}}(x) \stackrel{\text{def}}{=} \rho(a,x). $$ Cada una de las $ \phi_{a} $ es claramente continua. Como $ (X,\rho) $ es un espacio métrico compacto, es totalmente acotado, por lo tanto limitada. En consecuencia, la familia de funciones $ \mathcal{F} := \{ \phi_{a} \}_{a \in X} $ es uniformemente acotado con respecto a la sup-norma en $ C(X,\mathbb{R}) $. Así, podemos encontrar una constante escalar $ M > 0 $ lo suficientemente grande como para que el (continua) la función $ \psi_{a} := \dfrac{1}{M} \cdot \phi_{a} $ sup-norma $ \leq 1 $ por cada $ a \in A $. Vamos a demostrar que la familia $ \mathcal{G} $ de funciones continuas en $ X $ dada por $$ \mathcal{G} := \{ \psi_{a_{1}} \times \cdots \times \psi_{a_{n}} ~|~ n \in \mathbb{N} ~ \text{y} ~ a_{1},\ldots,a_{n} \X \} $$ es pointwise acotado y equicontinuous.

• Como el sup-norma de $ \psi_{a} $ por cada $ a \in A $$ \leq 1 $, lo mismo se puede decir de un producto finito de tales funciones. Este de inmediato los rendimientos de la pointwise-acotamiento de $ \mathcal{G} $.

• Elija $ a_{1},\ldots,a_{n} \in X $ también $ x_{0} \in X $. Entonces \begin{align} \forall x \in X: \quad &|{\psi_{a_{1}}}(x_{0}) \times \cdots \times {\psi_{a_{n}}}(x_{0}) - {\psi_{a_{1}}}(x) \times \cdots \times {\psi_{a_{n}}}(x)| \\ \leq &|{\psi_{a_{1}}}(x_{0}) \times \cdots \times {\psi_{a_{n}}}(x_{0})| + |{\psi_{a_{1}}}(x) \times \cdots \times {\psi_{a_{n}}}(x)| \\ = &|{\psi_{a_{1}}}(x_{0})| \cdots |{\psi_{a_{n}}}(x_{0})| + |{\psi_{a_{1}}}(x)| \cdots |{\psi_{a_{n}}}(x)| \\ \leq &|{\psi_{a_{1}}}(x_{0})| + |{\psi_{a_{1}}}(x)| \quad (\text{%#%#% for each %#%#%.}) \\ = &\frac{1}{M} \cdot \rho(a_{1},x_{0}) + \frac{1}{M} \cdot \rho(a_{1},x) \\ = &\frac{1}{M} \cdot \rho(x_{0},a_{1}) + \frac{1}{M} \cdot \rho(a_{1},x) \\ = &\frac{1}{M} [\rho(x_{0},a_{1}) + \rho(a_{1},x)] \\ \leq &\frac{1}{M} \cdot \rho(x_{0},x). \quad (\text{By the Triangle Inequality.}) \end{align} Por lo tanto, para cualquier $ \| \psi_{a} \|_{\infty} \leq 1 $, si fijamos $ a \in X $, entonces para cualquier $ \epsilon > 0 $ satisfacción $ \delta := M \epsilon $, seguramente vamos a tener $$ |{\psi_{a_{1}}}(x_{0}) \times \cdots \times {\psi_{a_{n}}}(x_{0}) - {\psi_{a_{1}}}(x) \times \cdots \times {\psi_{a_{n}}}(x)| < \epsilon. $$ Como $ x \in X $ funciona para cualquier elección de $ \rho(x_{0},x) < \delta $, y como $ \delta $ es arbitrario, el equicontinuity de $ a_{1},\ldots,a_{n} \in X $ es por lo tanto establecido.

Ahora, por el Arzelà-Ascoli Teorema, el sup-norma de cierre de $ x_{0} $, que denotamos por a $ \mathcal{G} $, debe ser un subconjunto compacto de $ \mathcal{G} $. Queda por demostrar que sus lineal span es densa.

Suponiendo que $ \overline{\mathcal{G}} $ contiene más de un punto (si $ C(X,\mathbb{R}) $ es un singleton establecer, a continuación, $ X $ es homeomórficos a $ X $, por lo que acaba de utilizar el hecho obvio de que la $ C(X,\mathbb{R}) $-lineal de la amplitud del compacto singleton set $ \mathbb{R} $ es denso en $ \mathbb{R} $), vemos que:

(1) $ \{ 1 \} $ separa los puntos en $ \mathbb{R} $.

Explicación: Dado distintas $ \mathcal{G} $, se observa que la $ X $, mientras que el $ x,y \in X $.

(2) $ {\psi_{x}}(x) = \dfrac{1}{M} \cdot \rho(x,x) = 0 $ desaparece en ningún punto de $ {\psi_{x}}(y) = \dfrac{1}{M} \cdot \rho(x,y) \neq 0 $.

Explicación: Dado cualquier $ \mathcal{G} $, se observa que la $ X $ no se desvanecen en $ x \in X $ si $ \psi_{y} $.

Estas dos condiciones se cumplen, podemos aplicar la Stone-Weierstrass Teorema deducir que el $ x $-álgebra generada por $ y \neq x $ es un subconjunto denso de $ \mathbb{R} $. Sin embargo, esta $ \mathcal{G} $-álgebra es simplemente la $ C(X,\mathbb{R}) $-lineal lapso de $ \mathbb{R} $, debido a $ \mathbb{R} $ fue deliberadamente diseñado para ser cerrado bajo finito productos (este es el quid de la solución; puede ser llamada un truco, si quieres). Por lo tanto, el $ \mathcal{G} $-lineal lapso de $ \mathcal{G} $, que contiene la $ \mathbb{R} $-lineal lapso de $ \overline{\mathcal{G}} $, también debe ser denso en $ \mathbb{R} $. Por lo tanto, estamos hecho.

Como puede verse, la solución que aquí se da una bonita construcción explícita de un subconjunto compacto de $ \mathcal{G} $ con las propiedades deseadas.

Answer 3

Esta es una respuesta a Dan pregunta y Haskell Curry comentario.

Deje $K$ el conjunto de $1$-funciones de Lipschitz $f\colon X\to \mathbb{R}$$\sup_X |f| \leq 1$.

Lema 1. $K$ es un subconjunto compacto de $C(X)$.

Sugerencia. El uso de Arzelà-Ascoli teorema.

Lema 2. El lineal lapso de $K$ es el conjunto de limitada funciones de Lipschitz $X\to \mathbb{R}$.

Prueba. Si $f \colon X \to \mathbb{R}$ $k$- Lipschitz función delimitada por $M > 0$,$f \in \max\{k,M\} K$. La conclusión se deduce del lema 3.

Lema 3. El conjunto de limitada funciones de Lipschitz $X\to \mathbb{R}$ es una subalgebra de $C(X)$.

Sugerencia. Utilice el siguiente triángulo de las desigualdades: $$ |(f(x) + \lambda g(x)) - f(y) + \lambda g(y))| \leq |f(x)-f(y)| + |\lambda| |g(x) - g(y)| $$ y $$ |f(x)g(x) - f(y)g(y)| \leq |g(x)||f(x)-f(y)| + |f(y)||g(x)-g(y)|. $$

Lema 4. El conjunto de limitada funciones de Lipschitz $X\to \mathbb{R}$ es un denso subconjunto de $C(X)$.

Sugerencia. Uso lema 3 y Piedra-teorema de Weierstrass.