Que $R$ ser un anillo. Según esta pregunta MO, el % de módulos $M \in R\text{-Mod}$que $\text{Hom}(M, -)$ conservas todos filtrados colimits (los objetos compactos) son precisamente los módulos finitamente presentado. ¿Donde puedo encontrar una prueba de ello?
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Esto es bastante fácil de probar directamente:
Para la dirección finitely presentó $\implies$ compacto, uno puede fácilmente demostrar a mano, y también existe la siguiente un poco más pulidos argumento:
Para cualquier módulo de $M$ y cualquier filtrada directa límite de $N = \varinjlim_i N_i$, hay una transformación natural $\varinjlim_i Hom(M,N_i) \to Hom(M,N).$ Este es sin duda un isomorfismo al $M = R$ (porque entonces se reduce a la igualdad inicial $\varinjlim_i N_i = N$), y por lo tanto, cuando $M = R^n$ para algunos $n \geq 0$, debido a que ambos functors $\varinjlim_i Hom(\text{--},N_i)$ y $Hom(\text{--},N)$ conmuta con finito directa sumas.
Ya filtrada directa límites son exactas, tanto functors también a la derecha exacto.
Ahora si $M$ es finitely presentado, elija una presentación $R^m \to R^n \to M \to 0,$ y se aplican tanto functors. Por lo que ya se ha dicho, junto con los cinco lema, podemos ver que $\varinjlim_i Hom(M,N_i) \to Hom(N,M)$ es un isomorfismo.
Para la otra dirección, supongamos que $M$ es compacto. Como cualquier módulo, $M$ puede ser escrito como un filtrado directa límite de finitely presentan los módulos de $M_i$. Mus $Hom(M,M) = Hom(M,\varinjlim_i M_i) = \varinjlim_i Hom(M,M_i)$ (la última igualdad siguiente por la compacidad). En particular, la identidad $M \to M$ puede ser factorizado a través del mapa de $M_i \to M$ para algunos lo suficientemente un gran $i$. Así, el mapa de $M_i \to M$ puede ser dividido, y por lo $M$ es un sumando directo de la finitely presentado módulo de $M_i$. En consecuencia, $M$ es en sí mismo finitely presentado.
Una relacionada con el hecho, mencionado en el fragmento que acabamos de citar, en las Matemáticas de las Gemas:
Si nos restringimos a filtrada directa límites con inyectiva mapas de transición (diret sindicatos en el idioma del extracto citado por las Matemáticas Gemas), a continuación del mismo modo encontramos, utilizando el hecho de que cualquier módulo puede ser escrito como el filtrado de la unión de sus finitely generado submódulos, que finitely módulos generados son, precisamente, los $M$ que $Hom(M,\text{--})$ viajes con filtrado directo de los límites de haber inyectiva mapas de transición.
Añadido en respuesta a la OP siguientes preguntas:
Si $A \to B$ es una de morfismos de anillos con $1$, luego $M \mapsto Hom_A(B,M)$ (Homs de izquierda $A$-módulos, y $Hom_A(B,M)$ ser dotado de la izquierda $B$-estructura del módulo procedentes de la derecha $B$-módulo de estructura en $B$) es un derecho medico adjunto del olvidadizo functor de izquierda a $B$-módulos a izquierda $A$-módulos. Esto muestra que la formación de de colimits desplazamientos con este olvidadizo functor.
Alternativamente, uno puede comprobar por un lado que la fórmula para el filtrado directa límites en $R$-mods es el mismo que en abelian grupos. (Acaba de utilizar el hecho de que directa sumas, kernels, y cokernels son los mismos.)
También, cualquier finitely generadas $R$-módulo de $M$ es de la forma $R^n/N$ para algunos submódulo $N$. Podemos escribir $N = \varinjlim_i N_i$ directo como límite de su f.g. submódulos. A continuación, $M = \varinjlim_i R^n/N_i$ es el filtrado directa límite de de f.p. los módulos. Desde cualquier módulo es el límite de f.g. submódulos, vemos que es también el filtrado directa límite de f.p. los módulos.
Judah Himango
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Esto va a ser un poco de un paseo, pero esperemos que la correspondiente a la presente pregunta, probablemente, todo lo que aquí está en Adams y Rosicki, aunque.
Recordemos que un objeto de $X$ en categoría $\mathcal{C}$ se llama compacto (como Qiaochu los estados en su pregunta) si $\hom(X, \cdot)$ viajes con filtrado colimits: intuitivamente, un mapa de $X$ en un orden ascendente de la unión debe aterrizar en uno de los factores. La compacidad es, pues, un útil versión de "pequeñez" y resulta ser muy útil (por ejemplo, en la formulación de functor adjunto teoremas) que en muchas de las categorías, la clase de todos los objetos (que puede ser gigantesco) es controlado por el mucho más razonable de la categoría de "pequeños objetos".
Una manera de decir esto es que el $\mathcal{C}$ es cocomplete, y hay un conjunto de objetos compactos tales que cada objeto en $\mathcal{C}$ puede ser obtenida como colimit de los objetos en este juego. Permítanme asumir que $\mathcal{C}$ es generado de forma compacta en este sentido. (Este es un poco más restrictivo que la noción de local presentable, donde no se asume que la generación de set se compone de objetos compactos, sino más bien de pequeños objetos, tales aquellas que homming de ellos desplazamientos suficientemente filtrada colimits.)
Por ejemplo, en la presente pregunta, la categoría de $R$-módulos es generado por el $R$-módulo de $R$ bajo colimits, y $R$ es compacto. Como otro ejemplo, si $\mathcal{D}$ es una prueba (pequeña) de la categoría, entonces la categoría de presheaves en $\mathcal{D}$ es generado por el representable en colimits, y lo representable son compactas (de hecho, por Yoneda del lexema, homming de un representable presheaf conserva todos los colimits -- el representables son pequeños).
De todos modos, la pregunta es cuando podemos identificar precisamente lo que los objetos compactos están en la categoría de $R$-módulos. Creo que podemos hacer esto en general de forma compacta generado categorías.
Deje $\mathcal{C}$ ser una compacta generado categoría y $S$ el conjunto dado de objetos compactos. Tenga en cuenta que $S$ no podría consistir de todos los objetos compactos: $S$ sólo podría consistir en la representables. Es fácil comprobar que un número finito de colimit de objetos compactos es compacto (esto es una consecuencia del hecho de que en los sets, límites finitos y filtrada colimits conmutan). El reclamo es que todos los objetos compactos son finitos colimits de objetos en $S$.
En el caso de $R$-módulos, cada módulo generados en el marco finito colimits de $R$ es finitely presentado. Así que la única objetos compactos son los finitely presentado. El mismo argumento funciona en la categoría de $R$-álgebras (donde los compactos son los finitely presentado álgebras y un generador de se $R[x]$) o en grupos (donde los objetos compactos son los finitely presentado los grupos).
Para ver esto, arreglar cualquier objeto en $\mathcal{C}$. Puesto que estamos suponiendo que la categoría es generado por $S$ bajo colimits, podemos formar un canónica manera de escribir $X$ como colimit de objetos en $S$. Es decir, tomamos el (pequeño) categoría consiste de pares de $(s, f)$ donde $s \in S$ $f: s \to X$ es una de morfismos. Hay una natural functor de esta categoría a $\mathcal{C}$ envío de $(s, f)$$s$. (Esta es una generalización de la "categoría de elementos" de la construcción, que escribe cualquier presheaf como canónica colimit de representables.) El reclamo es que el colimit de este functor da $X$ nuevo. De hecho, si tenemos mapas de $s$ por cada $s \in S$$s \to X$, se puede obtener un mapa de $X$ sólo por escrito, $X$ como colimit de objetos en $S$, y viceversa.
Vamos a llamar a esta generalizada categoría de elementos $\mathcal{E}$. Así, hemos elegido un diagrama de $D: \mathcal{E} \to \mathcal{C}$, tomando valores en $S$, de tal manera que $X$ es un colimit de $D$. Por desgracia, esto no tiene por qué ser una muy buena colimit.
Afortunadamente, si reemplazamos $S$ con la colección de $S'$ de los objetos que son finitos colimits de $S$ (en lugar de un pequeño esqueleto de este), podemos conseguir algo mejor. Deje $S'$ el conjunto en cuestión, vamos a ver que se compone de todos los objetos compactos. Por lo que puede funcionar de la misma "categoría de elementos"-tipo de construcción para $S'$ y, para cualquier $X$, anote $X$ canónicamente como un colimit de objetos de $S'$.
Pero hay algo más que usted consigue aquí: la categoría de los elementos de $(s' \to X)$ $s' \in S'$ es en realidad un filtrado categoría. (Esto es muy fácil: si tenemos $s_1' \to X$$s_2' \to X$, podemos mapa ambos a las $s_1' \sqcup s_2' \to X$. Si tenemos dos mapas de $s_1' \rightrightarrows s_2' \to X$, podemos formar la coequalizer, que es en $S'$ y que se asigna a $X$.)
Así que hemos encontrado así que podemos escribir cualquier objeto de $\mathcal{C}$ como un filtrado colimit de objetos de $S'$. (Esto generaliza la observación en mat E de la respuesta que cualquier módulo es filtrada colimit de finitely presentado.) Deje $X$ ser compacto. Desde $\hom(X, -)$ viajes con filtrado colimits, si tomar la identidad de morfismos $X \to X$, debe factor a través de uno de los objetos en $S'$, lo que significa que $X$ es un retractarse de un objeto en $S'$. Pero $S'$ es cerrado bajo retrae (que son finitos colimits). Por lo $X \in S'$.
Este argumento se basa en "categorías de elementos" parece ser bastante estándar en la categoría de teoría, cuando uno quiere demostrar que un objeto con una "buena" de la propiedad (por ejemplo, la compacidad) puede obtenerse como un especial colimit de ciertas buenos objetos.
Por ejemplo, se utiliza el mismo enfoque para demostrar que los objetos pequeños en un presheaf categoría son precisamente los retrae de representables. (Consecuencia: la presheaf de la categoría en una categoría $\mathcal{C}$ determina la idempotente finalización hasta equivalencia.)
Otra aplicación es Lazard del teorema de que una tv de $R$-módulo es filtrada colimit de libre módulos. Es decir, dado un $R$-módulo de $M$, se puede considerar que la categoría de finito libre módulos de $F \to M$ junto con morfismos $M$. De esta manera se expresa $M$ canónicamente como un colimit de finito libre de los módulos. Al $M$ plano, se puede demostrar que (usando la identidad de $\hom(P, M) \simeq \hom(P, R) \otimes M$ válido para un finitely presentado módulo de $P$) que esta categoría resulta ser filtrada.
codemac
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Este es un complemento a Matt E s bonita respuesta. Vamos a demostrar
Lema A. Un sumando directo de un finitely presentó $R$-módulo es finitely presentado.
Considere la siguiente condición de $(*)$ en un finitely generadas $R$-módulo de $C$:
$(*)$ Si $$ 0\a\B\C\to0 $$ es una secuencia exacta de $R$-módulos, y si $B$ es finitely generado, entonces, así es $A$.
Lema B. Condición de $(*)$ mantiene si y sólo si $C$ es finitely presentado.
La implicación "$(*)\implies C$ finitely presentado" es clara. También es claro que un sumando directo de un $R$-módulo de satisfacciones $(*)$ satisface $(*)$. Así, nos queda probar que finitely presentó $R$-módulos de satisfacer $(*)$.
Vamos
$$
0\a\B\C\to0,\quad F\G\C\to0
$$
respectivamente, una secuencia exacta y de un número finito de presentación de $C$. Hay morfismos hacer el diagrama de
$$
\begin{matrix}
F&\to&G&\to&C&\to&0\\
\downarrow&&\downarrow&&||&&||\\
A&\to&B&\to&C&\to&0
\end{de la matriz}
$$
de camino al trabajo. Por el Lema de la Serpiente, las flechas verticales han isomorfo cokernels. QED
Ahora vamos a reformular Matt E la prueba de que finitely presentó $\implies$ compacto. (Voy a usar la configuración de las Categorías y las Poleas por Kashiwara y Schapira.)
Deje $M$ ser un finitely presentó $R$-módulo de e $F:I\to\mathcal M$ un functor de un pequeño filtrant categoría a la categoría de $R$-módulos (categoría de la que depende el universo subyacente). Debemos mostrar que la natural mapa $$ \lim_{\longrightarrow}\text{Hom}(M,F)\a\text{Hom}\left(M,\lim_{\longrightarrow}F\right) $$ es bijective.
Como $M$ es finitely presentado, hay un número finito de categoría $J$ y un functor $G:J\to\mathcal M$ tal que $G(j)$ es gratis y finitely genera para todas las $j$, y $$ \lim_{\longrightarrow}G\simeq M. $$ Entonces no son naturales isomorphisms $$ \lim_{\longrightarrow}\text{Hom}(M,F) $$ $$ \simeq\lim_{\substack{\longrightarrow\\ i}}\text{Hom}\left(\lim_{\substack{\longrightarrow\\ j}}G(j),F(i)\right) $$ $$ \simeq\lim_{\substack{\longrightarrow\\ i}}\lim_{\substack{\longleftarrow\\ j}}\text{Hom}(G(j),F(i)) $$ $$ \simeq\lim_{\substack{\longleftarrow\\ j}}\lim_{\substack{\longrightarrow\\ i}}\text{Hom}(G(j),F(i)) $$ $$ \simeq\lim_{\substack{\longleftarrow\\ j}}\text{Hom}\left(G(j),\lim_{\substack{\longrightarrow\\ i}}F(i)\right) $$ $$ \simeq \text{Hom}\left(\lim_{\substack{\longrightarrow\\ j}}G(j),\lim_{\substack{\longrightarrow\\ i}}F(i)\right) $$ $$ \simeq \text{Hom}\left(M,\lim_{\longrightarrow}F\right). $$ El tercer isomorfismo se deduce del hecho de que, en la categoría de conjuntos, pequeñas filtrant límites conmuta con proyectiva finita límites. El cuarto isomorfismo resultados de la suposición de que $G(j)$ es gratis y finitely generado. El otro isomorphisms son evidentes.
Math Gems
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De acuerdo a Simion Breaz [1] este resultado se debe a H. Lenzing [2]. Desde la introducción de Breaz del papel puede ser de interés general, he anexado un extracto a continuación.
[1] S. Breaz. Los módulos de M tal que ${\rm Ext}_1^R(M,−)$ viajes directa con los límites.
[2] H. Lenzing. Endlich prasentierbare Moduln, Arch. De matemáticas. (Basilea) 20 (1969), 262-266.
