la curvatura de la curva en $\mathbb R^2$

Question

Estoy tomando un curso de geometría diferencial en este semestre y me tengo que quedar con uno de mis primeros ejercicios.

Deje $\alpha(s)=(x(s),y(s))$ ser una curva tal que $|\alpha'(s)|=1$. Demostrar que la curvatura es dado por $k(s)=|x'(s)y''(s)-x''(s)y'(s)|$.

Hasta ahora hemos definido la curvatura de tales curvas como $k(s)=|\alpha''(s)|$, pero esto en realidad no me la fórmula voy a probar. Ya que en realidad, no hemos hecho nada en el supuesto, sin embargo, no creo que tengo que hacer algo realmente complicado, pero todavía no sé qué hacer.

Alguien que me pueda ayudar con esto? Gracias.

Answer 1

Desde $|\alpha'|^2=(x')^2+(y')^2$ es constante, $\alpha''$ es ortogonal a $\alpha'$. Pero $(-y',x')$ también es ortogonal a $\alpha'=(x',y')$, por lo que es paralela a $\alpha''=(x'',y'')$. ¿Qué tiene que decirle a usted acerca de la parte interior (o punto) entre el producto de dos vectores?

Answer 2

Además de descriptivo @Harald post, sabemos que $v=d\alpha/dt=v\mathbf{T}$$a=(dv/dt)\mathbf{T}+v^2\kappa\mathbf{N}$$|v\times a|=\kappa v^3$. Supongo que usted sabe la cruz producto que se utiliza aquí.