Para dar fondo a mi pregunta, en todos los libros que yo he mirado para derivar la inversa de la transformada de Fourier de una función continua $f$$\mathbb{R}$, parecen funcionar de la siguiente manera. Deje $k$ ser un número real positivo y escribir (estándar de la serie de Fourier de la teoría)
$$
f(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n \, e^{i n \pi x/k}\ ,
$$
donde
$$
c_n = \frac{1}{2k} \int_{-k}^k f(y) \, e^{-i n \pi y/k}\, dy\
$$
Deje $\xi_n = n \pi / k$$\Delta \xi_n = \xi_n - \xi_{n-1} = \pi/k$, luego
$$
f(x) = \frac{1}{2\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty
\left( \int_{-k}^k f(y) \, e^{-i y \xi_n}\, d y \right) e^{i x \xi_n } \Delta \xi_n.
$$
Tome $k \to \infty$ para obtener
$$
f(x) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty \widehat{f}(\xi)\, e^{i x \xi}\, d \xi
$$
donde
$$
\widehat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^\infty f(x)\, e^{-ix \xi} \,d x.
$$
Todo el mundo hace este argumento, pero nunca lo demuestra. Incluso si un libro dice que este argumento no es riguroso, que ni una sola vez dar un contraejemplo.
Mi Pregunta es acerca de la prueba: Vamos a $g(\xi)$ ser absolutamente integrable en $\mathbb{R}$ y continua, pero NO de forma compacta compatible, de lo contrario, mi pregunta es trivial. Deje $k > 0$, vamos a $\xi_n = n/k$, y considerar la suma de Riemann $$ \sum_{n = -\infty}^\infty g(\xi_n)\Delta \xi_n $$ donde supongo que este infinito de la serie es absolutamente convergente para todos los $k > 0$. Debe ser cierto que la $$ \lim_{k \to \infty} \sum_{-\infty}^\infty g(\xi_n)\Delta \xi_n = \int_{-\infty}^\infty g(\xi) d \xi? $$ Si esto es cierto, se puede dar una primaria de la prueba, una prueba utilizando sólo la teoría de la integral de Riemann y ninguna teoría de la medida u otro asunto avanzado? Si no, lo que es explícito y no demasiado complicado contraejemplo?
