Hola chicos necesito ayuda en una de las preguntas de los parciales pasados que me he encontrado. Estoy bastante seguro de que he acertado en la letra (a). Pero si está mal podríais avisarme por favor. Pero es (b) y (c) con las que tengo problemas. Cualquier ayuda o solución a esos sería realmente útil. Tengo un examen parcial en 2 días y quiero tener confianza en todo esto.
Pregunta:
Sea D la franja vertical infinita D = (0 \leq x \leq 1, -\infty < y < \infty) :
(a) demuestre que la función u(x, y) = sin(\alphax)sinh(\alphay) satisfacefi la (versión bidimensional de la) ecuación de Laplace en D para cualquier valor real de la constante . ¿Para qué valor(es) de \alpha ¿la solución propuesta anteriormente satisface las condiciones de contorno de Dirichlet u = 0 en el límite de D?
b) considerar el siguiente problema de la EDP:
\bigtriangleup u = g(x, y) en D
u = h en el límite de D
donde \bigtriangleup denota el operador bidimensional de Laplace \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} ¿Está bien planteado el problema? Justifica tu respuesta utilizando los resultados del punto (a).
(c) Inspirándote en el punto (a), adivina una solución de la ecuación de Laplace en D que satisfagafi las condiciones de contorno de Neumann \frac{\partial u}{\partial n} = 0 en la frontera de D. ¿Qué se puede concluir sobre la bondad del siguiente problema de la EDP?
\bigtriangleup u = g(x, y) en D
\frac{\partial u}{\partial n} = h en el límite de D:
Mi intento:
(a)
Así que sé que la ecuación de Laplace es u_{xx} + u_{yy} = 0
Así que encontré u_{xx} = - \alpha^2 sin(\alpha x)sinh(\alpha y) y u_{yy} = \alpha^2 sin(\alpha x)sinh(\alpha y)
Por lo tanto u_{xx} + u_{yy} = 0 si lo introduzco en la ecuación.
Ahora para encontrar los valores de \alpha
sabemos u(0, y) = sin(0)sin(\alpha y) = 0 y u(1,y) = sin(\alpha)sinh(\alpha y)
Por lo tanto, sin(\alpha) = 0 \Rightarrow sólo cuando \alpha = k \pi donde k \in \mathbb{R}
ahora b y c me confunden.
Por favor, ayúdenme, se lo agradecería mucho.
