Bien, estoy asumiendo que usted está demostrando independencia lineal de los polinomios $1, z, z^2, \ldots, z^m$ en un infinito campo (como $\mathbb{C}$ o $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{R}$). La definición de independencia lineal es que si una combinación lineal de estas es 0, los coeficientes de todos debe ser igual a 0. Por lo que supone que no son linealmente independientes. Esto significa que usted presupone que existe una combinación lineal $a_0 + \ldots + a_m z^m$ que es 0 en el espacio vectorial.
Pero recuerda que ser 0 en el espacio de polinomios significa que es el 0 de la función, que es 0 para cada entrada. Un no constante polinomio de grado m en la mayoría de los m ceros, que es algo que usted probablemente sabe (y se puede demostrar muy fácilmente). Así que no puede ser 0 en todas partes, ya que es sólo de 0, en un número finito de puntos y hay infinitamente muchos en su campo. Por lo tanto, el polinomio debe ser un polinomio constante, y por lo tanto es el 0 combinación lineal, es decir, cada una de las $a_i=0$.
Diciendo que es una contradicción no es muy precisa, pero muchos autores y a los matemáticos y a los estudiantes el uso excesivo de la prueba por contradicción. En realidad, esta prueba no tiene una contradicción en la manera que yo he presentado. Si desea formular una contradicción, a continuación, hacer la suposición de que hay un valor distinto de cero combinación lineal que le da el 0 polinomio y, a continuación, mostrar que esto contradice el hecho de que cualquier polinomio tiene un número finito de ceros. Pero me parece que este método más rotonda y peor en el estilo que la anterior, que en realidad no hace suposiciones o contradicciones (que es lo que se denomina prueba directa).
