¿Son correctas mis intuiciones sobre la relatividad especial?

Question

Supongamos un autobús que circula a velocidad constante $v=0.9c$ en relación con mi amigo Eric, que está quieto en el suelo.
Estoy exactamente en el medio del autobús, a distancia $d$ desde ambos extremos, y al mismo tiempo $t=0$ Disparo un haz de luz en ambas direcciones, uno hacia la cabeza del autobús y el otro hacia la parte trasera.

Como estoy empezando a estudiar la relatividad especial, mi intuición es que:

• Como estoy en el Autobús, veré los 2 haces de luces que llegan a los 2 lados opuestos del autobús en el mismo momento $t=d/c$ .

• Eric en cambio verá el que toca la parte trasera del autobús primero en tiempo $t=d/(c+0.9c)$ y el que toca la cabeza del autobús después de $t=(d+ 0.9c*t)/c=d/c+0.9t=10d/c$ .

¿Son correctas mis intuiciones?

Answer 1

Muchas gracias por pedirme que revisar mi respuesta, como en realidad estaba inicialmente incorrecta; no pensé acerca de mi resultado con suficiente cuidado. Déjame intentarlo de nuevo.

Su intuición es casi correcta. La única diferencia es que no esta especial relativista rareza llamada contracción de longitud. Por lo que esperamos que el resultado para el tiempo en el imprimado marco que la luz llega a la pared de la derecha autobús $$t_R = \frac{1}{c-v}\frac{d}{\gamma}$$ and the time the light hits the left wall of the bus is $$t_L = \frac{1}{c+v}\frac{d}{\gamma},$$ donde las $1/\gamma$'s de la cuenta para la contracción de longitud.

Ahora vamos a derivar en realidad el resultado para comprobar nuestra intuición.

Vamos a escribir ecuaciones en la imprimado ($v=0$) marco para el movimiento de los dos extremos del bus $x_L(t)$ $x_R(t)$ así como las ecuaciones para el movimiento de los dos rayos de luz $\ell_L(t)$$\ell_R(t)$. Lo que estás buscando es el tiempo cuando el rayo de luz que mueve a la derecha se cruza con el extremo derecho de la bus (es decir, para $t_R$ tal que $x(t_R)=\ell_R(t_R)$) y el momento en que el rayo de luz moviéndose a la izquierda, se cruza con el extremo izquierdo de la bus (es decir, para $t_L$ tal que $x(t_L)=\ell_L(t_L)$).

Vamos a escribir las coordenadas del lado derecho del autobús, el lado izquierdo del autobús, y en el marco de cebado: $$(t'=0,x'=d)$$ $$(t'=0,x'=-d)$$ $$(t'=0,x'=0).$$ We may use the standard Lorentz transformation laws $$x'=\gamma(x-vt)\\t'=\gamma(t-vx/c^2) \\ x=\gamma(x'+vt') \\ t=\gamma(t+vx/c^2)$$ to determine the locations of these coordinates in the unprimed frame: $$(t=\gamma v \frac{d}{c^2},x=\gamma d)$$ $$(t=-\gamma v \frac{d}{c^2},x=-\gamma d)$$ $$(t=0,x=0).$$

Veamos en detalle la posición de la mano derecha del autobús en la imprimado marco. Desde el autobús está en movimiento con una velocidad constante, debemos tener $$x_R(t)=vt+c_R,$$ where $c_R$ is some constant. We can find $x_0$ from $$x_R(t=\gamma v \frac{d}{c^2}) = v(\gamma v \frac{d}{c^2})+c_R = \gamma d,$$ which means that $$c_R = \gamma d(1-\frac{v^2}{c^2}) = \frac{d}{\gamma}.$$

Al mismo tiempo, podemos escribir las ecuaciones que describen el derecho de movimiento de la luz en el imprimado cuadro: $$\ell_R(t)=ct.$$

La solución para $t_R$ mediante el establecimiento $x_R(t_R)=\ell(t_R)$, nos encontramos con $$vt_R+\frac{d}{\gamma}=ct_R$$ implies that $$t_R=\frac{1}{c-v}\frac{d}{\gamma}.$$

Ir a través de pasos similares para el lado izquierdo del autobús, nos encontramos con $$x_L(t)=vt-\frac{d}{\gamma}$$ and $$t_L=\frac{1}{c+v}\frac{d}{\gamma}.$$

Answer 2

Creo que es mejor definir claramente los marcos, los eventos espacio-temporales con sus coordenadas y utilizar la transformación de Lorentz para encontrar las relaciones entre ellos. Creo que derivar resultados intuitivamente usando la contracción de la longitud y/o la dilatación del tiempo no es tan seguro.

Por lo tanto, dejar que el cebado $\;S'\;$ denotan la trama del autobús que se desplaza con velocidad $\;v=0.9\,c\;$ como en la figura 1. Tenemos 3 eventos espacio-temporales $\;\mathrm{A,B,C}\;$ :
\begin{align} \mathrm{A} & =\text{shooting light beams to both directions from the middle of the bus} \tag{01.A}\\ \mathrm{B} & =\text{the backwards light beam strikes the back of the bus} \tag{01.B}\\ \mathrm{C} & =\text{the forwards light beam strikes the front of the bus} \tag{01.C} \end{align}

Además, deje que el $\;S\;$ denota el marco de reposo de Eric como en la figura 2 (1) .

Las coordenadas espacio-temporales de los acontecimientos en el marco primado $\;S'\;$ del autobús son : \begin{align} \left(x'_\mathrm{A},t'_\mathrm{A}\right) & =\left(0,0\right) \tag{02.A}\\ \left(x'_\mathrm{B},t'_\mathrm{B}\right) & =\left(-d,d/c \right) \tag{02.B}\\ \left(x'_\mathrm{C},t'_\mathrm{C}\right) & =\left(+d,d/c \right) \tag{02.C} \end{align} Eventos $\;\mathrm{B,C}\;$ son simultáneos en el sistema del bus.

Las coordenadas espacio-temporales de estos eventos en el marco de Eric no imprimado $\;S\;$ son : \begin{align} \left(x_\mathrm{A},t_\mathrm{A}\right) & =\left(0,0\right) \tag{03.A}\\ \left(x_\mathrm{B},t_\mathrm{B}\right) & =\left(???,??? \right) \tag{03.B}\\ \left(x_\mathrm{C},t_\mathrm{C}\right) & =\left(???,??? \right) \tag{03.C} \end{align}

Suponemos que en el momento del tiempo de rodaje ( $t'_\mathrm{A}=0$ ) Eric está de pie frente al centro y fuera del autobús y está fijando allí el origen de sus acontecimientos espacio-temporales $\left(x_\mathrm{A},t_\mathrm{A}\right) =\left(0,0\right)$ .

Ahora, la transformación de Lorentz entre fotogramas $\;S,S'\;$ expresado con diferencias es \begin{align} \Delta x & =\gamma\left(\Delta x'+v\,\Delta t'\right) \tag{04.1}\\ \Delta t & =\gamma\left(\Delta t'+\dfrac{\,v\,}{c^2}\Delta x'\right) \tag{04.2} \end{align} Así que \begin{align} \Delta x_\mathrm{BA} & =\gamma\left(\Delta x'_\mathrm{BA}+v\,\Delta t'_\mathrm{BA}\right) \Longrightarrow x_\mathrm{B}-x_\mathrm{A}=\gamma\left[\left(x'_\mathrm{B}-x'_\mathrm{A}\right)+v\,\left(t'_\mathrm{B}-t'_\mathrm{A}\right)\right] \Longrightarrow \nonumber\\ x_\mathrm{B} & =\gamma \left(-d+v\,d/c\right)=-\dfrac{c}{c+v}\dfrac{d}{\gamma}=-\sqrt{\dfrac{c-v}{c+v}}\,d=-\sqrt{\dfrac{1}{19}}\,d\approx -0.2294\,d \tag{05.1}\\ \Delta t_\mathrm{BA} & =\gamma\left(\Delta t'_\mathrm{BA}+\dfrac{\,v\,}{c^2}\Delta x'_\mathrm{BA}\right)\Longrightarrow t_\mathrm{B}-t_\mathrm{A}=\gamma\left[\left(t'_\mathrm{B}-t'_\mathrm{A}\right)+\dfrac{\,v\,}{c^2}\,\left(x'_\mathrm{B}-x'_\mathrm{A}\right)\right] \Longrightarrow \nonumber\\ t_\mathrm{B} & =\gamma \left(\dfrac{\,d\,}{c}-\dfrac{\,v\,}{c^2}\,d\right)=\dfrac{1}{c+v}\dfrac{d}{\gamma}=\sqrt{\dfrac{c-v}{c+v}}\,\dfrac{\,d\,}{c}=\sqrt{\dfrac{1}{19}}\,\dfrac{\,d\,}{c}\approx 0.2294\,\dfrac{\,d\,}{c} \tag{05.2} \end{align} y en pie de igualdad \begin{align} \Delta x_\mathrm{CA} & =\gamma\left(\Delta x'_\mathrm{CA}+v\,\Delta t'_\mathrm{CA}\right) \Longrightarrow x_\mathrm{C}-x_\mathrm{A}=\gamma\left[\left(x'_\mathrm{C}-x'_\mathrm{A}\right)+v\,\left(t'_\mathrm{C}-t'_\mathrm{A}\right)\right] \Longrightarrow \nonumber\\ x_\mathrm{C} & =\gamma \left(d+v\,d/c\right)=\dfrac{c}{c-v}\dfrac{d}{\gamma}=\sqrt{\dfrac{c+v}{c-v}}\,d=\sqrt{19}\,d\approx 4.3589\,d \tag{06.1}\\ \Delta t_\mathrm{CA} & =\gamma\left(\Delta t'_\mathrm{CA}+\dfrac{\,v\,}{c^2}\Delta x'_\mathrm{CA}\right)\Longrightarrow t_\mathrm{C}-t_\mathrm{A}=\gamma\left[\left(t'_\mathrm{C}-t'_\mathrm{A}\right)+\dfrac{\,v\,}{c^2}\,\left(x'_\mathrm{C}-x'_\mathrm{A}\right)\right] \Longrightarrow \nonumber\\ t_\mathrm{C} & =\gamma \left(\dfrac{\,d\,}{c}+\dfrac{\,v\,}{c^2}\,d\right)=\dfrac{1}{c-v}\dfrac{d}{\gamma}=\sqrt{\dfrac{c+v}{c-v}}\,\dfrac{\,d\,}{c}=\sqrt{19}\,\dfrac{\,d\,}{c}\approx 4.3589\,\dfrac{\,d\,}{c} \tag{06.2} \end{align}

Para un diagrama espacio-temporal, véase la figura 3.

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(1) Para mayor comodidad, la figura 2 se ha dibujado a escala pero con $\;v/c=0.60 (\gamma=1.25)\;$ en lugar de $\;v/c=0.90 (\gamma=1/\sqrt{0.19}\approx 2.2942)\;$ de la pregunta.

( (a) Si dos coches 1 y 2 a una distancia $\;s\;$ separados empiezan a correr el uno hacia el otro con velocidades $\;v_{1}\;$ y $\;v_{2}\;$ respectivamente, se encontrarán después de un tiempo \begin{equation} \Delta t =\dfrac{s}{v_{1}+v_{2}} \tag{a.1} \end{equation} a \begin{equation} s_{1}=\dfrac{v_{1}}{v_{1}+v_{2}}\;s \tag{a.2} \end{equation} desde el punto de partida de (b) Si dos coches 1 y 2 a una distancia $\;s\;$ aparte empezar a correr con velocidades $\;v_{1}\;$ y $\;v_{2}\;$ respectivamente,donde $\;v_{1}>v_{2}\;$ para que el coche más rápido 1 "cace" al otro coche 2, entonces el coche 1 \begin{equation} \Delta t=\dfrac{s}{v_{1}-v_{2}} \tag{b.1} \end{equation} a \begin{equation} s_{1}=\dfrac{v_{1}}{v_{1}-v_{2}}\;s \tag{b.2} \end{equation} desde el punto de partida del coche 1.Con $\;v_{1}=c$ , $\;v_{2}=v\;$ pero $\;s=d/\gamma$ =la semianchura del bus de longitud reducida $\;d\;$ las ecuaciones (a.2),(a.1),(b.2) y (b.1) dan lugar a las ecuaciones (5.1),(5.2),(6.1) y (6.2) respectivamente (véanse también los datos de la Figura 2).