Operador compacto en un espacio de Hilbert

Question

Esta es una tarea problema que estoy teniendo algunos problemas con el, por lo que las sugerencias se agradece. Deje $H$ ser un espacio de Hilbert con una base ortonormales $\{e_n\}$. Considere la posibilidad de que el operador $F : H\rightarrow H$ definido por $$Fx = \sum_{n=1}^\infty \beta_n \langle x, e_n\rangle e_n,$$

donde $\{\beta_n\}\subset \mathbb C$

Supongamos que $F$ es compacto. (Es decir, la imagen de cualquiera limitada secuencia contiene una convergente larga). Mostrar que $\lim_{n\rightarrow\infty} \beta_n = 0$.

La solución obvia es elegir una determinada secuencia delimitada y tratan de conseguir que me den el resultado, y la primera secuencia que probé fue obviamente $\{e_n\}$. Así que la imagen de esta secuencia es $\{\beta_ne_n\}$, por lo que esto implica que hay una larga $\{\beta_{n_j}e_{n_j}\}$ que converge. Pero esto no me ayuda y no veo otra manera de abordar la pregunta.

Answer 1

Me gusta tu idea de la construcción de una secuencia a partir de la base de vectores ortonormales y demostrar la no-existencia de convergentes subsecuencias! Pero creo que debemos ser un poco más restrictivo en la forma en que seleccionamos a nuestros secuencia: en lugar de seleccionar todos los ortonormales vectores de la base a ser nuestra secuencia, se debe seleccionar sólo los "conflictivos".

Así que aquí es la idea. Supongamos, por contradicción, que $\beta_n$ NO tienden a cero. Luego, con suerte, se puede mostrar que existe una $\epsilon > 0$ y existe una secuencia ascendente $n_1, n_2, n_3, \dots$ tal que $$ |\beta_{n_1}| > \epsilon, \ \ \ | \beta_{n_2} | > \epsilon, \ \ \ | \beta_{n_3} | > \epsilon \dots $$

Ahora considere la secuencia $$ e_{n_1}, \ \ e_{n_2}, \ \ e_{n_3}, \ \ \dots$$ Esperemos que se puede comprobar que la secuencia de $$F(e_{n_1}), F(e_{n_2}), F(e_{n_3}), \dots$$ no puede contener un Cauchy larga, lo cual sería suficiente para completar la prueba.

Para ver el problema con el uso de toda la base ortonormales $e_1, e_2, e_3, \dots$ como la "prueba" de la secuencia en su argumento: Considere el ejemplo donde $\beta_n$ $1$ al $n$ es impar y $0$ al $n$ es incluso. A continuación, $F(e_n)$ contenga claramente convergente larga, es decir, $F(e_2), F(e_2), F(e_6), \dots$, por Lo que no obtenemos una contradicción. Tenemos que ser más restrictiva, escogiendo sólo los "conflictivos" elementos $e_1, e_3, e_5, \dots$ nuestra "prueba" de la secuencia, y sólo entonces, nos encontramos incapaces de encontrar un Cauchy larga.

Answer 2

Supongamos que $lim_n|\beta_n|\neq 0$. Existe $c>0$ tal que para cada entero $i$, existe $n_i>i$ tal que $|\beta_{n_i}|>c$. Considerar que la secuencia $e_{n_i}$, $F(e_{n_i})$ no es una secuencia de Cauchy desde $\|F(e_{n_i})-F(e_{n_j}\|\geq 2c^2$, por lo que no se puede extraer un subsequence convergente.

Answer 3

Usted está más o menos en el camino correcto, pero tienes que ser un poco cuidadoso. Como usted probablemente ha notado, el hecho de que la secuencia de $\{\beta_{n} e_{n}\}$ tiene un convergentes larga no implica que $\lim_{n \rightarrow \infty} \beta_{n} = 0$. Considerar, por ejemplo, $\beta_{n} = 0$ si $n$ a y $\beta_{n} = 1$ si $n$ impar.

Usted tendrá el uso que cada delimitada secuencia que se asignan a una secuencia convergente larga.

(1) Usted puede usar esto para mostrar que cada subsequence de $\beta_{n}$ tiene un convergentes larga. (¿Cómo es para usted.)

(2) Si usted tiene este hecho, el siguiente paso es mostrar que si $\beta_{n_{j}}$ es convergente larga de $\beta_{n}$,$\beta_{n_{j}} \rightarrow 0$. (Considere lo que sucede cuando se acerca a otro número).

Entonces, finalmente, se puede combinar (1) y (2) para demostrar que $\beta_{n}$ converge a $0$. (Sugerencia: utilice el hecho de que si no lo hace, entonces hay una larga $\beta_{n_{j}}$ que queda lejos de la $0$, y argumentan que esto contradice (1) y (2)).

Answer 4

Su idea es buena. Tenga en cuenta que $(\beta_{n_j}e_{n_j})$ converge si y sólo si $(\beta_{n_j})$ converge a cero, por lo que casi ha terminado. Para conseguir elimina el "casi" uso el lema útil que un % de secuencias $x$converge a $a$ si y solamente si cada subsequence de $x$ tiene un subsequence que converge a $a$.

Answer 5

Dependiendo de qué información está disponible para usted, puede hacer lo siguiente. $F $ Es compacto, distinto de cero parte del espectro consiste en valores propios, formando una secuencia que converge a cero.

Por lo tanto, si usted demuestra que los valores propios de $F $ son precisamente las $\{\beta_n\}$ (fácil), haya terminado.