Mostrar que una función entera delimitada por $|z|^{10/3}$ es cúbico

Question

Pregunta: Vamos a $f$ ser toda una función tal que $|f(z)|\leq1+2|z|^{10/3}$ para todos los z. Demostrar que $f$ es un polinomio cúbico

Pensamientos hasta el momento: el Uso de un corolario del teorema de Liouville, sabemos que nos quieren mostrar que la $|f(z)|\leq a+b|z|^3$ $|f(z)|\geq a+b|z|^3$ para algunas constantes a y b. Sabemos que dentro del círculo unidad $|f(z)|\leq 1+2|z|^{10/3} < 1+2|z|^3$ lo que nos da un límite superior, mientras que fuera del círculo unitario sabemos que $-|f(z)|\geq -1-2|z|^{10/3} \implies |f(x)| \geq |-1-2|z|^{10/3}| = |2|z|^{10/3}--1|$ (por el triángulo de la desigualdad) $\geq 2|z|^{10/3}-1 > 2|z|^3-1$, el cual ofrece un límite inferior de tres, que por el corolario del teorema de Liouville implica que f(z) debe ser cúbico. Sin embargo, esta prueba me hace quesy porque siento que los límites superior e inferior fueron elegidos de manera arbitraria y podría ser cualquier función con una potencia de menos de $\frac{10}{3}%$, lo cual se me hace bastante frustrado. Además, esto también me lleva a creer que este no es un constructivo de la línea de pensamiento de este problema.

Gracias de antemano por cualquier ayuda que puede proporcionar.

Answer 1

La forma general de este clásico problema es el siguiente proposición:

Si $f$ es toda una función de la satisfacción de $|f(z)| \le A + B|z|^k$ para algunas constantes positivas $A,B$ y algunos entero no negativo $k$, $f$ es un polinomio de grado en la mayoría de las $k$.

Voy a probar esta proposición en un momento, por inducción en $k$. Tenga en cuenta que si la proposición es verdadera, entonces implica el siguiente teorema:

Si $f$ es toda una función de la satisfacción de $|f(z)| \le A + B|z|^\gamma$ para algunas constantes positivas $A,B,\gamma$, $f$ es un polinomio de grado en la mayoría de las $\lfloor\gamma\rfloor$.

(Justificación: la desigualdad con $\gamma$ implica que la desigualdad de la $\lfloor\gamma\rfloor+1$, posiblemente con diferentes constantes de $A,B$. Por lo $f$ es un polinomio de grado en la mayoría de las $\lfloor\gamma\rfloor+1$. Pero si realmente habían grado $\lfloor\gamma\rfloor+1$, entonces se podría crecer más rápido de lo $|z|^\gamma$, violando el dado de la desigualdad; por lo que en realidad tiene un grado en la mayoría de las $\lfloor\gamma\rfloor$.)

El caso base $k=0$ de la Proposición es simplemente el Teorema de Liouville: un almacén de toda la función es constante. Supongamos que la proposición es verdadera para $k-1$, y deje $f$ satisfacer $|f(z)| \le A+B|z|^k$. Deje $g(z) = (f(z)-f(0))/z$, que es también toda una función (su simgularity en $z=0$ es extraíble). Es fácil comprobar que $|g(z)| \le C + D|z|^{k-1}$ para algunas constantes positivas $C,D$ (cheque por separado en $|z|\le1$$|z|\ge1$). Por la hipótesis de inducción, $g$ es un polinomio de grado en la mayoría de las $k-1$; desde $f(z) = zg(z)+f(0)$, podemos ver que $f$ es un polinomio de grado en la mayoría de las $k$.