Medición de control de un registro cuántico

Question

Dado un vector de estado $\left[\alpha,\beta,\gamma,\delta\right]$ que no es conocido a priori, no existe una operación, que voy a llamar "el control de la medición, lo que resulta en el conjunto

$\left[\alpha,\sqrt{|\beta|^2+|\delta|^2},\gamma,0\right]$

con una probabilidad de ${|\beta|^2}\over{|\beta|^2+|\delta|^2}$ y

$\left[\alpha,0,\gamma,\sqrt{|\beta|^2+|\delta|^2}\right]$

con una probabilidad de ${|\delta|^2}\over{|\beta|^2+|\delta|^2}$, y me informa en cuál de estos dos estados es el sistema ahora? (Suponga que la fase de las raíces, es intrascendente.)

En su defecto, ¿existe una operación, que voy a llamar "el control de inicialización", que opera en el mismo estado desconocido vector, pero de manera determinista resultados en el primer caso, el anterior conjunto? Si no, ¿qué ley de la mecánica cuántica es violado por esta operación?

Si bien la operación es imposible, ¿qué ley de la mecánica cuántica lo impide?

Answer 1

Ni su noción de control de la medición, ni su noción de control de la inicialización, son válidos cuántica operaciones. En los dos casos, no creo que no es un simple axioma de la mecánica cuántica que viola, sino que violan restricciones conocidas de la mecánica cuántica transformaciones. La imposibilidad de "el control de la medición" se entiende mejor en términos de la densidad de los operadores como una descripción de la mecánica cuántica de los estados (incluyendo probabilística de mezclas de dos o más estado-vectores); y la imposibilidad de "el control de inicialización" tiene que ver con lo realizable de las transformaciones del mapa a todos los estados a algún estado puro (una densidad operador que representa la situación de sin duda tener un solo vector de onda como el vector de estado).

#1. Respecto a las "mediciones controladas"

La primera operación ("el control de la medición") no está permitido por la mecánica cuántica. La razón por la que en última instancia es que no es una transformación lineal del estado. Obviamente, porque hay una probabilidad involucrados, no estoy hablando de transformaciones unitarias; pero todas las operaciones en la mecánica cuántica — incluyendo la de Schrödinger evolución y proyectiva en la medición puede ser realizada como completamente positivo, traza la preservación de transformaciones lineales de la densidad de los operadores. Tan pronto como hablamos de la realización de las diferentes transformaciones con diferentes probabilidades, tiene más sentido hablar de la densidad de los operadores, ya que pueden incorporar probabilística de las mezclas de los diferentes estados puros. La cosa es que todas las transformaciones que se pueden realizar cuántica-mecánicos son aquellos que son lineales, y que además de preservar el conjunto de la densidad de los operadores (mapas positivo semidefinite matrices positivas semidefinite matrices y mapas de matrices con seguimiento de 1 a matrices con traza 1).

Podemos ver que su asignación no es lineal, como sigue. Considera que el estado es $\def\conj{^{\ast}} |\psi\rangle = \bigl[ \alpha \;\; \beta \;\; 0 \;\; \delta \bigr]^\dagger$. La densidad inicial de la matriz correspondiente a este estado $$ \rho \;=\; |\psi\rangle\langle\psi| \;=\; \begin{bmatrix} \alpha\alpha\conj & \alpha\beta\conj & 0 & \alpha\delta\conj \\ \beta\alpha\conj & \beta\beta\conj & 0 & \beta\delta\conj \\ 0 & 0 & \;\;0\;\; & 0 \\ \delta\alpha\conj & \delta\beta\conj & 0 & \delta\delta\conj \end{bmatrix}.$$ Tenga en cuenta que todos los no-cero entradas de la matriz son linealmente independientes de los parámetros de cada uno de los otros. La evolución de describir sería el rendimiento de cada uno de los siguientes estados con probabilidad de $\beta\beta\conj/(\beta\beta\conj + \delta\delta\conj)$ $\delta\delta\conj/(\beta\beta\conj + \delta\delta\conj)$ respectivamente, $$\begin{align*} |\phi_1\rangle \;&=\; \begin{bmatrix} \alpha \\ \sqrt{\beta\beta\conj + \delta\delta\conj} \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, &\qquad |\phi_2\rangle \;&=\; \begin{bmatrix} \alpha \\ 0 \\ 0 \\ \sqrt{\beta\beta\conj + \delta\delta\conj} \end{bmatrix}, \end{align*}$$ que tienen la correspondiente densidad de matrices $$\begin{align*} |\phi_1\rangle\langle\phi_1| \;&=\; \begin{bmatrix} \alpha\alpha\conj & \alpha\sqrt{\beta\beta\conj + \delta\delta\conj} & 0 & 0 \\ \alpha\conj\sqrt{\beta\beta\conj + \delta\delta\conj} & \beta\beta\conj + \delta\delta\conj & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \;\;0\;\; & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \;\;0\;\; \end{bmatrix}, \\[3ex] |\phi_2\rangle\langle\phi_2| \;&=\; \begin{bmatrix} \alpha\alpha\conj & 0 & 0 & \alpha\conj\sqrt{\beta\beta\conj + \delta\delta\conj} \\ 0 & \;\;0\;\; & 0 & \;\;0\;\; \\0 & 0 & \;\;0\;\; & 0 \\ \alpha\conj\sqrt{\beta\beta\conj + \delta\delta\conj} & 0 & 0 & \beta\beta\conj + \delta\delta\conj \end{bmatrix}. \end{align*}$$ La transformación resultante es entonces la asignación de $$\begin{align*} M(\rho) \;&=\; M\left( \begin{bmatrix} \alpha\alpha\conj & \alpha\beta\conj & 0 & \alpha\delta\conj \\ \beta\alpha\conj & \beta\beta\conj & 0 & \beta\delta\conj \\ 0 & 0 & \;\;0\;\; & 0 \\ \delta\alpha\conj & \delta\beta\conj & 0 & \delta\delta\conj \end{bmatrix} \right) \\[2ex]&=\; \frac{\beta\beta\conj}{\beta\beta\conj + \delta\delta\conj} |\phi_1\rangle\langle\phi_1| \;+\; \frac{\delta\delta\conj}{\beta\beta\conj + \delta\delta\conj} |\phi_2\rangle\langle\phi_2| \\[2ex]&=\; \begin{bmatrix} \alpha\alpha\conj & \alpha\tfrac{\beta\beta\conj}{\sqrt{\beta\beta\conj + \delta\delta\conj}} & 0 & \alpha\tfrac{\delta\delta\conj}{\sqrt{\beta\beta\conj + \delta\delta\conj}} \\ \alpha\conj\tfrac{\beta\beta\conj}{\sqrt{\beta\beta\conj + \delta\delta\conj}} & \beta\beta\conj & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \;\;0\;\; & 0 \\ \alpha\conj\tfrac{\delta\delta\conj}{\sqrt{\beta\beta\conj + \delta\delta\conj}} & 0 & 0 & \delta\delta\conj \end{bmatrix}.\end{align*}$$ Esta no es una función lineal de la no-cero de los parámetros de $\alpha\alpha\conj$, $\alpha\beta\conj$, $\alpha\delta\conj$, etc. Así que la función $M$ en la densidad de los operadores no es lineal, y por tanto, no físicamente válida la transformación de la densidad de los operadores.

#2. Con respecto a la "controlado inicializaciones"

La segunda operación (controlado"inicialización") no es posible también, quantum, mecánicamente, para un estado inicial arbitrario. La única determinista operaciones (aquellas que producen un estado puro, con certeza) son las que borrar de la información y la preparación de un nuevo estado constante, y operaciones unitarias. El mapa es, obviamente, no es una constante. No es unitario, porque no conserva interior de productos: podemos ver esto considerando los dos vectores $\bigl[ \alpha, \beta, \gamma, \beta \bigr]$$\bigl[ \alpha, \beta, \gamma, -\beta \bigr]$$\beta \ne 0$, y los valores de $\alpha, \gamma \in \mathbb C$, que incluso pueden ser ortogonales, pero son en última instancia asignado para el mismo vector. Así que la noción actual de "el control de inicialización" no es válida.

Answer 2

Lo que usted está buscando (supongo, basado en el ejemplo) es un quantum de la operación que se lleva a

$$ (\alpha, \beta, \gamma, \delta)$$

a

$$ (\alpha, u, \gamma, 0)$$ with probability $\frac{|\beta^2|}{| \beta^2| + |\delta^2|}$

y

$$ (\alpha, 0, \gamma, u')$$
con una probabilidad de $\frac{|\delta^2|}{|\beta^2| + |\delta^2|}.$

Si usted insiste en obtener el resultado de la medición de alguna manera, entonces esto es imposible, porque si usted comienza con un par de copias de un estado $$(\alpha, \epsilon_1, \gamma, \epsilon_2),$$ then assuming you can do what you want, you will be able to approximate the ratio between $\epsilon_1$ and $\epsilon_2$ regardless of how small $\epsilon_1$ and $\epsilon_2$, algo que viola los principios de la mecánica cuántica.

RESPUESTA A LA REVISIÓN DE LA PREGUNTA:

Quieres empezar con $(\alpha, \beta, \gamma, \delta)$ y $$(\alpha, e^{i\theta}\sqrt{|\beta^2|+|\delta^2|}, \gamma, 0).$$

Esto es imposible. Supongamos primero que la fase es siempre 1. Esto significa que usted puede comenzar con $(\frac{\alpha}{2}, \pm\frac{\beta}{\sqrt{2}}, \frac{\alpha}{2},0)$ y $(\frac{\alpha}{2}, \frac{\beta}{\sqrt{2}}, \frac{\alpha}{2},0)$. Sin embargo, si usted comenzó con una mezcla de los dos vectores $(\alpha\frac{1}{2}, \pm\beta\frac{1}{\sqrt{2}}, \alpha\frac{1}{2},0)$, este es el mismo como una mezcla de los vectores $(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0,\frac{1}{\sqrt{2}},0)$$(0,1,0,0)$. Su operación se lleva a una mezcla de estos dos vectores y se convierte en una superposición de estos dos vectores. Pero convertir una mezcla en una superposición es imposible por las leyes de la mecánica cuántica.

Esto significa que la operación debe preservar fases. Pero ahora, de alguna manera nos necesitan un quantum de la operación de que los mapas de puntos en la esfera de Bloch compuesto por el segundo y el cuarto coordenadas del vector en una sola dimensión. Este es el mismo que poner una fase compleja en cada punto de la unidad de la esfera, para que enfrente de puntos de la fase opuesta. Es decir, usted desea un mapa continuo de la unidad de la esfera en el círculo con antípodas asignan a las antípodas. Estoy bastante seguro de que este es topológicamente imposible (aunque te agradecería que alguien que se puede citar un teorema que demuestra esta).

Answer 3

Este tipo de operación es, de hecho, físicamente realizable. Suponga que usted desea medir qubit $b$ si qubit $a$ 1 en el estado. A continuación, sólo medir el $a$, y si usted recibe 1 a continuación, mida $b$ (por ejemplo, el asistente de laboratorio pone a $b$ en la medición de aparato o no dependiendo del resultado de la $a$ medición). Pero tal vez usted quería llevar a cabo esto sin medir el $a$. En ese caso, preparar un auxiliar del estado $c$, hacer un controlado controlado-no de la operación entre el $a,b,c$, luego medir la $c$. La controlada controlada de la operación no es $\textrm{CCNOT}_{abc} = \left|0\right>\left<0\right|_a \otimes I_b \otimes I_c + \left|1\right>\left<1\right|_a \otimes \textrm{CNOT}_{bc}$ donde $\textrm{CNOT}_{bc} = \left|0\right>\left<0\right|_b \otimes I_c + \left|1\right>\left<1\right|_b X_c$.

Si $a$ fue de 1 a continuación, usted ha hecho un controlado-no entre a$b$$c$, lo que en efecto las copias del estado de $b$$c$. Por entonces la medición de $c$ obtiene el mismo resultado como si se hubiera medido $b$. Por otro lado, si $a$ 0 entonces el controlado-no no ocurra y $c$ se queda en su estado inicial. La medición de $c$ da 0 sin tener ningún efecto en $b$.

Al igual que con cualquier controlada de la operación, habrá un impacto en el qubit $a$. Específicamente, si $b$ es en la 1 estado haciendo esta controlada de medición que terminan ganando la información sobre $a$, provocando que se decohere o colapso como si hubiera sido medido. Si $b$ fue en el estado cero entonces no habrá ningún efecto en $a$ (observe que este circuito es simétrico entre el $a$ $b$ qubits).

No hay manera posible de hacer una medición de $b$ controlada por $a$ sin tener un efecto en $a$. La razón es que la medición de resultados (o de no-resultado) siempre revelará información acerca de si la medida se había hecho, que a su vez revela la información sobre el estado de $a$.