Estaba trabajando en la identificación de cuadrados perfectos para uno de mis programas sobre trío pitagórico. Y encontré que para cada cuadrado perfecto si sumamos su dígitos de forma recursiva hasta que tengamos un número dígito, por ejemplo 256-> 13-> 4 etc. tenemos el dígito como 1,4,7 o 9. ¿Es un fenómeno inadvertido? ¿Lo que puede ser matemática razón detrás de esto?
Respuestas
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El estándar observación es que, "añadir los dígitos de un número de forma recursiva" es, básicamente, una forma elegante de decir "encontrar el valor del número de módulo 9".
Así que tu pregunta es realmente preguntando "qué números son cuadrados módulo 9?" Esto es fácil de contestar con aritmética modular: dado que sólo hay 9 números de módulo 9, podemos utilizar la fuerza bruta
- $0^2 = 0$
- $1^2 = 1$
- $2^2 = 4$
- $3^2 = 9 = 0 \pmod 9$
- $4^2 = 16 = 9 + 7 = 7 \pmod 9$
- $5^2 = 25 = 9\cdot 2 + 7 = 7 \pmod 9$
- $6^2 = 36 = 9\cdot 4 = 0 \pmod 9$
- $7^2 = 49 = 9\cdot 5 + 4 = 4 \pmod 9$
- $8^2 = 64 = 9\cdot 7 + 1 = 1 \pmod 9$
Nos podría haber ahorrado algunos problemas por el uso de $x^2 = (-x)^2$; por ejemplo,$(-3) = 6 \bmod 9$, lo $6^2 = (-3)^2$. Que sólo es necesario para comprobar $0$ a través de $4$.
Debido a que el cálculo real de hacerlo, los representantes de las clases de equivalencia módulo $9$ que usted termina con son los números de $1$ a través de $9$, en lugar de $0$ a través de $8$. Nota:$0 = 9 \bmod 9$. Por lo tanto, las plazas son $1, 4, 7, 9$, como usted ha observado.
Oli
Puntos
89
Ningún cuadrado perfecto es congruente a uno de los $0,1,4,7$ modulo $9$. Esto puede comprobarse por cuadratura $0,1,2,3,4$. Y cualquier número entero positivo es congruente modulo $9$ a la suma de sus dígitos decimales. Esto es porque $10\equiv 1 \pmod{9}$.
Comentario: Podría utilizar la misma idea para ver las sumas de dígitos de cuadrados en decir base $16$.
