demostrar que $f_n = 37111111...111$ nunca es primo

Question

Sea $$f_n = 37111111...111$$ con n 1's. Demostrar que $$f_n$$ nunca será primordial para $$n\ge1.$$

Intenté mirar $$f_n$$ en mod(p), suponiendo $$f_n$$ es primo, por si hay alguna contradicción. También intenté aplicar Wilson y el pequeño teorema de Fermat.

Estoy seguro de que debe haber una factorización simple que estoy supervisando.

Answer 1

Sugerencia : las bases modulares que busca son $3, 7, 13$ et $37$ para diferentes valores de $n$ . Una de ellas divide cada miembro de la secuencia.

Answer 2

Sugerencia $\ $ Examinar las factorizaciones primos de la primera $\,\color{#c00}6\,$ elementos de $\,f_N = 334\cdot 10^{N}\!-1$ revela

$\, 10^{\large\color{#c00}6}\!-1 = 3^3\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 37,\,$ et $\,f_N$ es divisible por una de esas potencias primos $\,p^i$ para todos $\,N <\color{#c00} 6,\,$ por lo tanto $\,f_N\,$ es divisible por uno de esos $\,q = p^i\,$ para todos $\,N,\,$ así que $\,f_N/9\,$ es compuesto para todo $\,N\ge 0.\,$

Prueba $\ $ Dividir $\,N\,$ por $\,6\,$ produce $\,N = K+6J\,$ para $\,K < 6.\ $ Por hipótesis, algunos $\,q\mid f_K$

${\rm mod}\ q\!:\ \color{#c00}{10^{\,6}}\equiv\color{#c00} 1\,\Rightarrow\, \color{#0a0}{10^N} \equiv 10^{K+6J}\equiv 10^K(\color{#c00}{10^6})^J\equiv 10^K\color{#c00}1^J\equiv \color{#0a0}{10^K}\ $ por $ $ Reglas de congruencia

Así que $\,q\mid f_K\Rightarrow\, 0\equiv f_K\! \equiv 334\cdot \color{#0a0}{10^K}\!-1\equiv 334\cdot \color{#0a0}{10^N}\!-1 \equiv f_N\Rightarrow\, q\mid f_N,\,$ correctamente por $\,q < f_0 \le f_N$

Observación $\ $ Se trata de una aplicación típica de congruencias de cobertura . Ver también esta pregunta y ver esta pregunta para un análogo polinómico, y un enlace a un artículo de Schinzel.