Álgebra sobre un campo

Question

Sea$\mathbb A$ un álgebra de dimensión$k$ sobre el campo$\mathbb F$. Es cierto que$\mathbb A$ es isomorfo a una subalgebra del álgebra matricial$M_k(\mathbb F)?$

Answer 1

Eso depende: ¿Necesitas un álgebra para tener una identidad? Si no, vaya al comentario de Norbert. En caso afirmativo, continúe.

Como espacio vectorial,$\mathbb{A}\cong\mathbb{F}^k$ (elija una base). La acción de multiplicación a la izquierda de$\mathbb{A}$ sobre sí misma define un homomorfismo de álgebras$\mathbb{A}\to\text{End}(\mathbb{F}^k) \cong M_k(\mathbb{F})$. Este mapa es inyectivo: si$a$ se asigna al endomorfismo cero, entonces$ax=0$ para todo$x\in\mathbb{A}$, en particular para$x=1$.

Answer 2

Sí, si el álgebra $\mathbb{A}$ es asociativa, entonces como Sean Eberhard señala la izquierda-la multiplicación de los mapas dan transformaciones lineales en álgebra $\mathbb{A}$ cuyas matrices de formar una subalgebra de $M_k(\mathcal{F})$ que es isomorfo al álgebra asociativa.

Tome $\mathbb{A} = \mathbb{F}^k$ que la multiplicación $*$. Examinemos donde la asociatividad es necesario. Supongamos $T: \mathbb{A} \rightarrow \mathbb{A}$ está a la izquierda de la multiplicación por $A \in \mathbb{A}$ esto significa $T_A(v) = A*v$. Ahora, supongamos $T_B(v) = B*v$ es otro ejemplo de la izquierda-la multiplicación de mapa. Quisiéramos $A \mapsto T_A$ a definir un isomorfismo. Considere la posibilidad de $T_A \,{\scriptstyle \stackrel{\circ}{}}\, T_B$. Observar,

$$ (T_A \,{\scriptstyle \stackrel{\circ}{}}\, T_B)(v) = T_A(T_B(v)) = T_A(B*v)=A*(B*v) $$

Sin embargo, $T_{A*B}(v) = (A*B)*v$. Si $*$ no es una operación asociativa no hay ninguna razón por la que $T_A \,{\scriptstyle \stackrel{\circ}{}}\, T_B = T_{A *B}$ debe ser cierto.

Todavía es posible encontrar un isomorfismo para algún subconjunto $S$ $M_k(\mathcal{F})$ si damos el subconjunto de una operación otros multiplicación de la matriz. Esto significa $S$ no es estrictamente hablando una subalgebra de $M_k(\mathcal{F})$ desde la multiplicación en $S$ no es heredado de la multiplicación de la matriz de la operación en $M_k(\mathcal{F})$.

Algunos autores utilizan la notación diferente para el mismo punto establecido para indicar una elección diferente de la multiplicación. Por ejemplo, $M(\mathbb{F})=\mathbb{F}^{n \times n}$ con la multiplicación de la matriz, mientras que $gl_n(\mathbb{F})= \mathbb{F}^{n \times n}$ con el colector del soporte de la multiplicación $[A,B] = AB-BA$. $gl_n(\mathbb{F})$ no es un álgebra asociativa, la salida de la asociatividad es cuantificado por la identidad de Jacobi $[A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0$. Para un finito dimensionales Mentira álgebra de dimensión $k$ resulta que usted puede encontrar un isomorfo copia del álgebra en $gl_n(\mathbb{F})$ donde $n \geq k$. La igualdad no puede ser posible. Ver Ado del Teorema; http://en.wikipedia.org/wiki/Ado%27s_theorem . Esto también es conocido por super álgebras de Lie.

Tiendo a pensar que si tenemos un número finito de dimensiones álgebra, entonces es posible embedd en matrices de suficientemente grandes orden, incluso si es que no asociativo. Pero, la operación no necesita ser simple multiplicación de la matriz.