(Atiyah-Macdonald, Ex. 5.25)
Deje $A$ ser un anillo. Demostrar que los siguientes son equivalentes:
i) $A$ es un Jacobson anillo;
ii) Cada finitely generadas $A$-álgebra $B$ que es un campo finito $A$.
Estoy tratando de solucionar $i)\Rightarrow ii)$. Casi hecho, pero necesito un poco de ayuda. Mi juicio:
Vamos $f:A\to B$, $B$ un finitely generadas $A$-álgebra que es un campo. Desde $f(A)$ es de Jacobson y de $A$-álgebra/módulo en realidad significa que $f(A)$-álgebra/módulo, podemos asumir que $A \subseteq B$. Pick $s\in A$ como en Ex. 5.21 (ver más abajo). Debido a $A$ es Jacobson, $J(A)=0$ por lo que podemos encontrar un ideal maximal $m$ que no contengan $s$. Deje $k:=A/m$$f:A \twoheadrightarrow k \hookrightarrow \bar{k}$,$f(s) \neq 0$, lo $f$ se extiende a $g:B\to \bar{k}$. Debido a $B$ es un campo, $g$ es inyectiva o trivial. Pero $g(s)=f(s) \neq 0$ $g$ es inyectiva y $B \simeq g(B)$. Supongamos $B=A[z_1,\cdots,z_m]$, luego $g(B)$ $=$ $g(A)[g(z_1),\cdots,g(z_m)]$ $=$ $k[g(z_1),\cdots,g(z_m)]$. Cada una de las $g(z_i)$ $\bar{k}$ por lo tanto la integral sobre $k$, lo $g(B)$ es finitely generadas $k$-módulo.
Ahora la pregunta:
1. ¿Cómo puedo deducir que $B$ es un finitely generadas $A$-módulo?
2. $g(A)=f(A)=k$ pero $g$ es inyectiva. ¿Cómo puede ser posible? Creo que el $A$ estrictamente(?) contiene $k$.
(Ex. 5.21) Deje $A$ ser un sub-anillo de un integrante del dominio $B$ tal que $B$ es finitely generado más de $A$. Demostrar que no existe $s \neq 0$ $A$ de manera tal que, si $\Omega$ es algebraicamente cerrado de campo y $f:A\to \Omega$ es un homomorphism para que $f(s) \neq 0$, $f$ puede ser extendido a un homomorphism $B\to \Omega$.
