Función de tipo Zeta con desplazamiento

Question

¿Existe una función conocida de la forma:

ps

Y si es así cuál es su nombre?

Answer 1

Supongamos $a$ es pequeña, es decir,$0<a<1$. Entonces $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s + a} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} \frac{1}{1 + a n^{s}} = \sum_{m=1}^\infty (-a)^{m-1} \zeta(m s) $$ Si $a$ es mayor en valor absoluto, podemos necesitar para mantener a $p$ inicial de los términos, así como para asegurarse de que $|a| < (p+1)^{s}$: $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s + a} = \sum_{n=1}^{p} \frac{1}{n^s + a} + \sum_{m=1}^\infty (-a)^{m-1} \zeta(m, s, p+1) $$ donde $\zeta(s,a)$ representa la zeta de Hurwitz-función.