Observación

Question

Encontrar $\lim_{x\to +\infty}(\frac{x+\ln x}{ x-\ln x})^{\frac{x}{\ln x}}$. Intenté usar la regla de l'Hospital con la continuidad de la función$e$. También intentó utilizar la expansión de Taylor sin éxito. ¿Que debería hacer? Gracias.

Answer 1

\begin{align*} \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x+\log x}{x-\log x}\right)^{\frac x{\log x}} =&\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{2\log x}{x-\log x}\right)^{\frac x{\log x}}\\ =&\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{2}{\frac{x}{\log x}-1}\right)^{\frac x{\log x}}\\ =&\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{2}{\frac{x}{\log x}-1}\right)^{\frac x{\log x}-1}\left(1+\frac{2}{\frac{x}{\log x}-1}\right)\\ =&e^2 \end{align*}

Answer 2

Con$t=\frac{x}{\ln x}$ su límite se puede escribir $$ \ lim_ {t \ to \ infty} \ Bigl (\ frac {1 1 / t} {1-1 / t} \ Bigr) ^ t. $$ Si sabes que $$ e = \ lim_ {t \ a \ infty} (1 1 / t) ^ t $$ y $ \ frac {1} {e} = \ lim_ {t \ a \ infty } (1-1 / t) ^ t $$ entonces usted está hecho esencialmente.

Answer 3

Justificar lo siguiente utilizando

ps

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