Cómo dividir por $(a_1,a_2,a_3)$

Question

He estado buscando una explicación en la obra de Howard Álgebra lineal y no pude encontrar un ejemplo idéntico al de abajo.

El ejemplo me dice que los vectores $\boldsymbol{a}_1$ , $\boldsymbol{a}_2$ y $\boldsymbol{a}_3$ son:

$$\boldsymbol a_1 = (a,0,0)$$ $$\boldsymbol a_2 = (0,a,0)$$ $$\boldsymbol a_3 = (0,0,a)$$

Y tengo que calcular $\boldsymbol b_1$ utilizando la ecuación:

$$\boldsymbol{b}_1 = \frac{2 \pi \, (\boldsymbol a_2 \times \boldsymbol a_3)}{(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3)}$$

Hasta ahora sólo he conseguido calcular el producto cruzado $(\boldsymbol a_2 \times \boldsymbol a_3)$ usando la regla de Sarrus y lo que obtengo es

$$\boldsymbol{b}_1 = \frac{2 \pi \, \hat{\boldsymbol{i}} \, a^2}{(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3)}$$

Pero ahora estoy atascado ya que no sé cómo calcular con un $(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3)$ Ya que es la primera vez que me encuentro con algo así.

Podría indicarme qué hacer a continuación, o indicarme un buen sitio de html, ya que todavía quiero calcular esto yo mismo.

Saludos cordiales.

Answer 1

Me he dado cuenta de que $(\boldsymbol a_2 \times \boldsymbol a_3)$ es un producto vectorial que puedo calcular así:

$$\boldsymbol a_2 \times \boldsymbol a_3 = \left| \begin{array}{ccc} \boldsymbol{\hat{i}}&\boldsymbol{\hat{j}}&\boldsymbol{\hat{k}}\\ 0&a&0\\ 0&0&a \end{array} \right| =\boldsymbol{\hat{i}} a a + \boldsymbol{\hat{j}} 0 0 + \boldsymbol{\hat{k}} 0 0 - \boldsymbol{\hat{i}} 0 0 - \boldsymbol{\hat{j}} 0 a - \boldsymbol{\hat{k}} a 0 = \boldsymbol{\hat{i}} a^2$$

También he descubierto (gracias a Hans Lundmark) que $(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3)$ es en realidad sólo una notación para el producto triple escalar $\boldsymbol{a}_1 \cdot (\boldsymbol{a}_2 \times \boldsymbol{a}_3)$ que puedo calcular así:

$$\boldsymbol a_1 \cdot (\boldsymbol a_2 \times \boldsymbol a_3) = \left| \begin{array}{ccc} a&0&0\\ 0&a&0\\ 0&0&a \end{array} \right| = aaa + 000 + 000 - a00 - 00a - 0a0 = a^3$$

Si pongo todo junto en una ecuación para $\boldsymbol b_1$ Tengo una solución:

$$ \boldsymbol{b}_1 = \frac{2 \pi \, \boldsymbol{\hat{i}} a^2}{a^3} = \frac{2\pi}{a} \, \boldsymbol{\hat{i}} = \frac{2\pi}{a} \, (1, 0, 0) $$

Answer 2

Sospecho que su pregunta está mal planteada. La división de un escalar por un vector no es una operación válida en el espacio vectorial.

Answer 3

$\def\va{{\bf a}} \def\vb{{\bf b}}$ Esto es básicamente un desarrollo de los comentarios de @HansLundmark.

Sospecho que lo que está escrito en el texto (o, lo que se pretendía escribir) es $$\vb_1 = \frac{2\pi(\va_2\times\va_3)}{[\va_1,\va_2,\va_3]}.$$ Tenga en cuenta que $[\va_1,\va_2,\va_3]$ es una notación estándar para el producto triple escalar , $$\begin{eqnarray*} [\va_1,\va_2,\va_3] &=& \va_1\cdot(\va_2\times\va_3) \\ &=& \textrm{det}\langle\va_1,\va_2,\va_3\rangle \\ &=& |\langle\va_1,\va_2,\va_3\rangle|. \end{eqnarray*}$$ Denotamos por $\langle\va_1,\va_2,\va_3\rangle$ la matriz cuyas columnas son los vectores $\va_i$ . (Es común ver esta matriz escrita como $(\va_1,\va_2,\va_3)$ pero utilizamos paréntesis angulados para evitar confusiones con la notación del enunciado de la pregunta).

Es posible, aunque poco probable, que lo que se pretende es $$\vb_1 = 2\pi\langle\va_1,\va_2,\va_3\rangle^{-1} (\va_2\times\va_3).$$ Esto sería un abuso de la notación, pero es la forma más natural de que la multiplicación funcione si $(\va_1,\va_2,\va_3)$ es una matriz y los vectores son vectores columna.