Cuando leí el artículo de operador compacto en Wikipedia, dijo que
Sea$T_{n}, n\in \mathbb{N}$, una secuencia de operadores compactos de un espacio de Banach a otro, y supongamos que$Tn$ converge a$T$ con respecto a la norma del operador. Entonces$T$ también es compacto.
¿Puede alguien darme una prueba breve de esto? Gracias por adelantado.
Creo que es más sencillo para probar esto sin tener que recurrir a las secuencias.
Resultado clave: En un espacio métrico, un conjunto es relativamente compacto iff es totalmente acotado.
Deje $B=B(0,1)$ el de apertura de la unidad de pelota.
Para mostrar que $TB$ es compacto, es suficiente para mostrar que es totalmente acotado.
Elija $\epsilon>0$, e $n$ tal que $\|T-T_n\| < \frac{1}{2} \epsilon$. Desde $T_n$ es compacto, $T_n B$ es totalmente acotado y por lo tanto tiene un número finito de $\frac{1}{2}\epsilon$-net $\{t_1,...,t_k \} \subset T_nB$.
Yo reclamo que $t_1,...,t_k$ $\epsilon$- net para $TB$. Supongamos $t \in TB$, $t=Tx$ algunos $x \in B$. A continuación, $\tilde{t} = T_n x$ satisface $\|t-\tilde{t}\| < \frac{1}{2} \epsilon$. Desde $t_1,...,t_k$ $\frac{1}{2}\epsilon$- net para$T_nB$, $\|\tilde{t}-t_i\| < \frac{1}{2} \epsilon$ algunos $i$. Por lo tanto $\|t-t_i\| < \epsilon$. Por lo tanto $TB$ es totalmente acotado y por lo $T$ es compacto.
Un operador compacto es uno que es el límite (en la norma topología) de rango finito de los operadores. Así, por una diagonal argumento, el límite de una norma-convergente secuencia de operadores compactos puede ser escrito como el límite de una norma-convergente secuencia de rango finito operadores, y así es el nuevo compacto.
Agregado: Como el comentario de abajo indican, este argumento es válido en la generalidad de la pregunta. Pero tal vez el enfoque general puede ser salvado?
En otro caracterización de los operadores compactos (válido en todos los casos), vamos a $T_m \to T$ ser nuestra norma convergente secuencia de operadores compactos, y deje $x_n$ ser una secuencia en la unidad de la bola de su dominio.
Tenemos que encontrar un Cauchy larga de $T(x_n).$ (Esto le mostrará que $T$ es compacto.) Sabemos que cualquier subsequence de $T_m(x_n)$ ($m$ fijo) contiene un Cauchy larga (desde $T_m$ es compacto). Sabemos que $T_m(x_n)$ ($n$ fijo) converge a $T(x_n)$, y esta convergencia es uniforme en $n$ (desde $|| T(x_n) - T_m(x_n) || \leq || T - T_m|| || x_n|| \leq || T - T_m||,$ which $\a 0$ as $n \to \infty$).
Ahora una diagonal argumento nos permitirá encontrar un Cauchy larga de $T(x_n)$.
Más precisamente, vamos a $x_{n_{1,i}}$ ser un subsequence de $x_n$ tal que $T_1(x_{n_{1,i}})$ es de Cauchy. Pasar a las subsecuencias inductivamente como sigue: suponiendo que hemos elegido la larga $x_{n_{m,i}}$, tome $x_{n_{m+1,i}}$ a ser una larga de $x_{n_{m,i}}$ tal que $T_{m+1}(x_{n_{m+1,i}})$ es de Cauchy.
Ahora defina $x_{n_i} = x_{n_{i,i}}$. A continuación, $T_m(x_{n_i})$ es de Cauchy para cada $m$, y se puede deducir de esto que el $T(x_{n_i})$ es de Cauchy.
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