Dejemos que $\{ a_{n}\}$ sea una secuencia real positiva $a_{n}=\sqrt{a_{n-1}a_{n-2}}$ para $n≥3$ entonces $\{ a_{n}\}$ converge a $(a_{1}a_{2}^{2})^{1/3}$ .

Question

Dejemos que $\{ a_{n}\}$ sea una secuencia de números reales positivos tal que $a_{n}=\sqrt{a_{n-1}a_{n-2}}$ para $n≥3$ entonces $\{ a_{n}\}$ converge a $(a_{1}a_{2}^{2})^{\frac{1}{3}}$ .

Mi intento:-

Multipliqué todos los términos nuevos y simplifiqué los términos basándome en la relación recursiva

$a_{n}.a_{n-1}...a_{2}.a_{1}=\sqrt{a_{n-1}.a_{n-2}}.\sqrt{a_{n-2}.a_{n-3}}...a_{2}.a_{1}$

Cancela los términos similares,

Me sale $a_{n}\sqrt{a_{n-1}}=a_{2}\sqrt{a_{1}}$ .

Límite, estoy obteniendo el resultado. ¿Cómo son mis pasos? ¿Tiene algún error? ¿Cómo probar la existencia? No soy capaz de juzgar si es monotónicamente decreciente/ creciente. ¿Cómo demostrar que la secuencia está acotada?

Answer 1

Una primera observación es que $a_n$ es de la forma $$ a_n=a_1^{k_n}a_2^{1-k_n}, $$ donde $k_n\in[0,1]$ con $k_1=1$ , $k_2=0$ y $$ a_1^{k_{n+2}}a_2^{1-k_{n+2}}=a_{n+2}=\sqrt{a_na_{n+1}}= \sqrt{a_1^{k_{n+1}}a_2^{1-k_{n+1}}a_1^{k_{n}}a_2^{1-k_{n}}}=a_1^{\frac{k_{n}+k_{n+1}}{2}}a_2^{1-\frac{k_{n}+k_{n+1}}{2}}, $$ y por lo tanto $k_n$ satisface $$ k_1=1,\,k_2=0,\, k_{n+2}=\frac{1}{2}(k_n+k_{n+1}). $$ A continuación, observe que $$ k_{n+2}-k_{n+1}=-\frac{1}{2}(k_{n+1}-k_n), $$ y por lo tanto que $$ k_{n+2}-k_{n+1}=-\frac{1}{2}(k_{n+1}-k_n)=\cdots=\frac{(-1)^n}{2^n}(k_2-k_1)=-\frac{(-1)^n}{2^n}. $$ Así, $k_n$ también satisface $$ k_n=k_{n-1}-\frac{(-1)^{n-2}}{2^{n-2}} $$ y finalmente, $$ k_n=k_1-\sum_{j=0}^{n-2}\frac{(-1)^j}{2^j}=1-\frac{1-\frac{(-1)^{n-1}}{2^{n-1}}}{1-\frac{-1}{2}}\to 1-\frac{1}{1+\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}, $$ y por lo tanto $$ a_n\to a_1^{\frac{1}{3}}a_2^{\frac{2}{3}}. $$