¿Cómo podría uno demostrar realmente, de una manera rigurosa, que el área de un paralelogramo está dada por la magnitud del producto cruzado?

Question

En $3$-dimensiones, se pueden calcular las áreas de los paralelogramos uso del producto, así como: $$H_2(\{ax+by : a \in [0,1],b \in [0,1]\}) = |x \times y|,$$ where $H_2$ is the $2$-dimensional medida de Hausdorff. Por supuesto, rara vez formalizada como este. Tanto de primaria de la geometría nunca se formalizó. En cualquier caso, la fórmula de arriba parece la interpretación más razonable de este hecho bien conocido.

Pregunta. ¿Cómo sería en realidad de probar esa fórmula de rigor?

Por "demostrar rigurosamente" no me refiero a dibujar un persuasivo geométricas diagrama y hacer todo lo que suena argumento. Más bien, me refiero a algo que podría, al menos en principio, habrá de ser formalizada en un suficientemente poderoso interactivo teorema de armario de un día. Un diagrama está bien, pero por favor explique cómo se podría aplicar en la práctica de la prueba contenida implícitamente en ese diagrama.

Answer 1

Por elemental de álgebra lineal, la cruz del producto se conserva por las rotaciones. Ya que las rotaciones son isometrías, también preservar la medida de Hausdorff, por lo que podemos aplicar una rotación a asumir que $x=(u,0,0)$ $y=(v,w,0)$ algunos $u,v,w\in\mathbb{R}$. Del mismo modo, podemos multiplicar por un escalar asumir que $u=1$, ya que la multiplicación por un escalar $r$ escalas tanto en $H_2$ y el producto cruzado por $r^2$ (si $u=0$, entonces el paralelogramo es sólo un segmento de línea por lo que ha $2$-dimensional de medida $0$). Así que podemos suponer que estamos en realidad en $\mathbb{R}^2$ en lugar de $\mathbb{R}^3$ y queremos mostrar el paralelogramo generado por $(1,0)$ $(v,w)$ $2$- dimensional de medida $|w|$. También, $2$-dimensiones de Hausdorff medida en $\mathbb{R}^2$ es sólo la medida de Lebesgue.

Ahora hay muchas maneras de proceder. Por ejemplo, la clásica geométricas argumentos muestran que se puede descomponer un paralelogramo como un discontinuo de la unión de un número finito de triángulos y, a continuación, aplicar isometrías a los triángulos para obtener una descomposición de una $|w|\times 1$ rectángulo, módulo de un número finito de segmentos de línea. Dado que los segmentos de línea tienen medida cero, esto muestra que el paralelogramo tiene la misma medida que el rectángulo. Como alternativa, puede utilizar el teorema de Fubini: la medida del paralelogramo es la integral de la 1-dimensional de las medidas de sus horizontal secciones transversales. La sección transversal compuesta de puntos cuya segunda coordenada es $t$ está vacía a menos que $t$ entre $0$$w$, en cuyo caso es el intervalo de $[vt/w,vt/w+1]$. Desde estos intervalos, todos tienen medida $1$, e $t$ puede oscilar sobre un intervalo de longitud de $|w|$, la medida del paralelogramo es $|w|$.

Answer 2

Aquí hay un enfoque posible. Primero, compruebe que para cualquier dos vectores$u$,$v$, en$3$ - espacio que tenemos$$|u|^2 \cdot |v|^2 = (u\cdot v)^2 + |u\times v|^2$ $ Que se puede mostrar utilizando las definiciones que implican las coordenadas de% #% Y$u$. Ahora, si también sabe que$v$, y también usando$u\cdot v = |u|\cdot |v| \cdot \cos \theta$ concluimos$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ $ ($$|u\times v | = |u|\cdot |v| \cdot \sin \theta$, el ángulo entre% , Se encuentra en el intervalo$\theta$). Desde aquí, puede estar casi terminado, suponiendo que sabemos cuál es el área de un paralelogramo.