Resolviendo$\frac{1}{(x-1)} - \frac{1}{(x-2)} = \frac{1}{(x-3)} - \frac{1}{(x-4)}$. ¿Por qué mi solución es incorrecta?

Question

Estoy siguiendo a todos los que hasta ahora me sabe las reglas para resolver ecuaciones, pero el resultado es incorrecto. Por favor explique la razón por la que mi enfoque no es el correcto.

Queremos resolver:

$$\frac{1}{(x-1)} - \frac{1}{(x-2)} = \frac{1}{(x-3)} - \frac{1}{(x-4)}\tag1$$

Mover las cosas en la RHS a LHS:

$$\frac{1}{(x-1)} - \frac{1}{(x-2)} - \frac{1}{(x-3)} + \frac{1}{(x-4)} = 0\tag2$$

Escrito por encima de todo con un denominador común:

$$\frac{1}{(x-4)(x-1)(x-2)(x-3)}\bigg[(x-2)(x-3)(x-4) - (x-1)(x-3)(x-4) - (x-2)(x-1)(x-4) + (x-1)(x-2)(x-3)\bigg] = 0\tag3$$

Multiplicando ambos lados con el denominador para cancelar el denominador:

$$(x-2)(x-3)(x-4) - (x-1)(x-3)(x-4) - (x-2)(x-1)(x-4) + (x-1)(x-2)(x-3) = 0\tag4$$

Multiplicando los dos primeros factores en cada término:

$$(x^2-3x-2x+6)(x-4) - (x^2-3x-x+3)(x-4) - (x^2-x-2x+2)(x-4) + (x^2-2x-x+2)(x-3) = 0\tag5$$

La simplificación de los primeros factores en cada término:

$$(x^2-5x+6)(x-4) - (x^2-4x+3)(x-4) - (x^2-3x+2)(x-4) + (x^2-3x+2)(x-3) = 0\tag6$$

Factores multiplicadores de nuevo:

$$(x^3-4x^2-5x^2+20x+6x-24) - (x^3-4x^2-4x^2+16x+3x-12) - (x^3-4x^2-3x^2-12x+2x-8) + (x^3-3x^2-3x^2+9x+2x-6) = 0\tag7$$

Quitando el paréntesis de la producción:

$$x^3-4x^2-5x^2+20x+6x-24 - x^3+4x^2+4x^2-16x-3x+12 - x^3+4x^2+3x^2+12x-2x+8 + x^3-3x^2-3x^2+9x+2x-6 = 0\tag8$$

Que se traduce en:

$$28x - 10 = 0 \Rightarrow 28x = 10 \Rightarrow x = \frac{5}{14}\tag9$$ lo cual no es correcto. La respuesta correcta es $x = \frac{5}{2}$.

Answer 1

El error está en el tercer grupo de paréntesis en el paso "multiplicar factores de nuevo". Lo que tiene como$-12x$ debe ser positivo.

Answer 2

Una sugerencia para hacer su vida mucho más simple.

Siempre simplificar las variables para empezar. Aquí usted puede hacer fácilmente la sustitución de $x-4 = y$ para obtener más fácilmente una ecuación en $y$.

Luego de señalar que $\frac 1y - \frac 1{y+1} = \frac 1{y(y+1)}$, su muy fácilmente puede ver que los numeradores de ambos lados de la combinación de las expresiones racionales es sólo $1$ (para evitar confusiones, se nota que he incorporado los términos en cada lado para obtener un resultado positivo en el numerador). Tomando el recíproco de ambos lados y en expansión, se obtiene cuadráticas en ambos lados, donde la plaza términos de cancelar inmediatamente, dándole una simple ecuación lineal. Resolver para $y$, a continuación, agregue $4$ conseguir $x$.

Answer 3

Pero como sugerí en mi comentario, el mejor enfoque es primero simplificar cada lado por separado. . . Note también, como se advirtió en la respuesta de Mark Bennet, tenemos que preocuparnos por cancelar factores algebraicos que en realidad podrían ser igual a cero. En los pasos anteriores, los factores$$(x-1),\;(x-2),\;(x-3),\;(x-4)$ $ fueron cancelados en el paso de multiplicación cruzada, pero eso era seguro ya que, basado en la ecuación original, ninguno de esos factores tenía el potencial de ser cero.

Answer 4

Aquí hay otra manera, que también ilustra lo fácil que es cometer un error con este tipo de problemas. Si tomamos las fracciones negativas al otro lado de la ecuación obtenemos% ps

¿Qué salió mal? - Bueno en la cancelación$$\frac 1{x-1}+\frac 1{x-4}=\frac 1 {x-3}+\frac 1{x-2}$ No he comprobado para asegurarse de que no estaba dividiendo por cero - por lo que la respuesta que quiero es$ which becomes $ or$\frac {2x-5}{(x-1)(x-4)}=\frac {2x-5}{(x-2)(x-3)}$

Answer 5

Hay una forma abreviada de evaluar$$p(x):=(x-2)(x-3)(x-4) - (x-1)(x-3)(x-4)\\ - (x-2)(x-1)(x-4) + (x-1)(x-2)(x-3).$ $

Está claro que se trata de un polinomio de, como máximo, segundo grado, ya que todo término cúbico se anulará *.

Luego realizamos las evaluaciones fáciles

ps

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* En realidad también podemos encontrar el coeficiente cuadrático a ser$$p(1)=-6,\ p(2)=-2,\ p(3)=2,\ p(4)=6$ $ pero no necesitamos usar este hecho, la evaluación directa es de todos modos necesaria para obtener los términos lineales.