Hay un no-trivial grupo $C$ que si $A*C \cong B*C$$A \cong B$?

Question

Recientemente he aprendido que los grupos finitos son rescindibles de productos directos, es decir, si $F$ es un grupo finito y $A\times F \cong B\times F$,$A \cong B$. Una prueba se puede encontrar en esta nota por Hirshon. En la misma nota, se muestra que la $\mathbb{Z}$ es no cancelable, pero si sólo permitimos $A$ $B$ a ser abelian, es (ver aquí).

Me gustaría saber si hay algún grupo que puede ser cancelado de productos libres en lugar de directa de productos. Que es:

Hay un no-trivial grupo $C$ que si $A*C \cong B*C$,$A \cong B$?

Si ayuda, yo también estaría interesado en el caso en que los grupos son finitely generado.

Ciertamente, no es cierto que cada grupo es cancelable en productos gratis. Por ejemplo, si $A$, $B$, $C$ la libre grupos de uno, dos, y una infinidad de generadores, respectivamente, a continuación, $A*C \cong C \cong B*C$ pero $A\not\cong B$. Muchos no-ejemplos pueden ser construidos de esta manera, pero todos ellos son infinitamente generado. Esto lleva a la pregunta:

Hay finitely grupos generados por $A, B, C$ $A \not\cong B$ pero $A*C \cong B*C$?

Answer 1

Una respuesta a la segunda pregunta de la siguiente manera:

Grushko del teorema de la descomposición: Vamos a $G$ ser un no-trivial finitely generado grupo. A continuación, $G \cong A_1*\dots *A_r*F_s$ donde $A_1, \dots, A_r$ son no triviales, libremente indecomposable grupos que no son infinitos cíclico, y $s \geq 0$. Por otra parte, esta descomposición es única en el siguiente sentido: si $G \cong B_1*\dots*B_l*F_t$, luego $l = k$, $s = t$, y no es $\sigma \in S_r$ tal que $A_i$ $B_{\sigma(i)}$ son conjugado en $G$ (en particular, isomorfo).

Vamos

\begin{align*} A &\cong A_1*\dots*A_k*F_p\\ B &\cong B_1*\dots*B_l*F_q\\ C &\cong C_1*\dots*C_m*F_r \end{align*}

ser la Grushko descomposición de los $A$, $B$, y $C$. Luego por la unicidad, la Grushko descomposiciones de $A*C$ $B*C$

\begin{align*} A*C &\cong A_1*\dots*A_k*C_1*\dots*C_m*F_{p+r}\\ B*C &\cong B_1*\dots*B_l*C_1*\dots*C_m*F_{q+r}. \end{align*}

Si $A*C \cong B*C$,$k + m = l + m$, lo $k = l$, e $p + r = q + r$, lo $p = q$. Por otra parte, hay un bijection $\{A_1, \dots, A_k, C_1, \dots, C_m\} \to \{B_1, \dots, B_l, C_1, \dots, C_m\}$ de manera tal que un grupo y su imagen son isomorfos. De ello se desprende que hay un bijection $\{A_1, \dots, A_k\} \to \{B_1, \dots, B_l\}$ de manera tal que un grupo y su imagen son isomorfos, es decir, no es $\sigma \in S_k$ tal que $A_i \cong B_{\sigma(i)}$. Ahora

$$A \cong A_1*\dots *A_k*F_p \cong B_{\sigma(1)}*\dots*B_{\sigma(k)}*F_q \cong B_1*\dots*B_l*F_q \cong B$$

donde el último segundo de isomorfismo tiene porque $G_1*G_2 \cong G_2*G_1$$p = q$.

Así que, en conclusión, tenemos:

Si $A, B, C$ son finitely grupos generados con $A*C \cong B*C$,$A \cong B$.

Es decir, la respuesta a la segunda pregunta es no.