La localización de los ceros del polinomio

Question

Dado el polinomio con coeficientes reales $$p(x) = x^n + a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_n,$$ ¿hay algún método para decidir si tiene ceros en algún intervalo, por ejemplo,$(0,1)$? Existen métodos para ya sea positivo o negativo ceros pero estoy interesado por ceros en un intervalo de tiempo específico.

Answer 1

El teorema de Sturm le permite hacer eso.

Pequeño ejemplo:

$$p(x)=x^2-1/4$$

Calculamos el $$p'(x)=2x$$

y al contrario del resto de la división de $p$$p'$, lo que es, hasta un positivo factor constante, $$1$$

Ahora evaluamos a las tres $(p(x),p'(x),1)$ $x=0$ conseguir $(-1/4, 0, 1)$ y a las $x=1$ conseguir $(3/4,2,1)$. El primer triple ha $1$ cambio de signo, y el segundo ha $0$ cambios de signo. Por lo tanto, no se $1-0=1$ cero de $p$ dentro $(0,1]$.

Answer 2

Si el polinomio $$ (1+x)^np(\frac1{1+x}) $$ sólo tiene coeficientes positivos, entonces usted sabe que no hay raíces en el intervalo de $(0,1)$ por la regla de Descartes de los signos. Si hay un cambio de signo en el coeficiente de secuencia, entonces no es exactamente una raíz en el intervalo por la misma regla.

Compruebe también el Budan-Fourier teorema, si el número de cambios de signo en el coeficiente de la secuencia de $p(a+x)$ $p(b+x)$ difiere de cero o uno, entonces hay cero o exactamente una de las soluciones en $[a,b)$

Answer 3

Uso teorema de rolle. Integrar el polinomio. Si los valores de la integral en los valores extremos son iguales, entonces existe una raíz en el intervalo.