¿Cuál es $n^{2015}+n+1$ prime?

Question

$n \in \mathbb{N}$.

Creo que esto parece cierto sólo para $1$.

He intentado mostrar que $4n-1,2n+1,2^{n+1}-1$ divide el dado por la expresión, pero no tuvo éxito. Sólo he pensado en esto a través de la forma de la aritmética modular. Alguien me sugirió el uso de las raíces complejas de la ecuación, pero no especificó cómo. Hay otros resultados que se pueden usar para este problema(yo no las conozco)?

Por favor, sólo proporcionan sugerencias si usted resuelve. Gracias.

Answer 1

\begin{eqnarray*} n^{2015} +n+1 &=& n^{2015} -n^2+n^2+n+1 \\ &=& n^2(n^{2013} -1) + n^2+n+1 \\ &=& n^2(n^3-1)\underbrace{(n^{2010}+n^{2007}+...+n^3+1)}_a +n^2+n+1 \\ &=& (n^2+n+1)(an^2(n-1)+1) \\ &=& \end{eqnarray*} Desde $n^2+n+1\geq 3$ este podría ser el primer solo si $an^2(n-1)+1 =1$ y esto es sólo al $n=1$.

Answer 2

$2015\equiv 2\pmod{3}$ implica que el $\Phi_3(n)=n^2+n+1$ es un divisor de a $n^{2015}+n+1$, así que...