Demostrar que $\phi: \mathbb{R}_3[x]\rightarrow\mathbb{R}^3, \phi(p):=[p(-1), p(0), p(1)] $ es una transformación lineal

Question

Dejemos que $\mathbb{R}_3[x]$ sea un espacio vectorial de polinomios p con grado $\leq3$ y demostrar que $\phi: \mathbb{R}_3[x]\rightarrow\mathbb{R}^3, \phi(p):=[p(-1), p(0), p(1)] $ es una transformación lineal.

Ahora sé que la transformación es lineal si se cumplen estas dos condiciones:

Una transformación lineal entre dos espacios vectoriales $V$ y $W$ es un mapa $T:V\rightarrow W$ tal que se cumpla lo siguiente:

1. $T(v_1+v_2)=T(v_1)+T(v_2)$ para cualquier vector $v_1$ y $v_2$ en $V$ y

2. $T(\alpha v)=\alpha T(v)$ para cualquier escalar $\alpha$ .

Dejemos que $p(x)=\alpha p_1(x)+\beta p_2(x)$ Ahora tenemos $\phi(p(x)) = \phi(\alpha p_1(x)+\beta p_2(x))=\left[\begin{array}{c}\alpha p_1(-1)+\beta p_2(-1)\\\alpha p_1(0)+\beta p_2(0)\\\alpha p_1(1)+\beta p_2(1)\end{array}\right]=\alpha\left[\begin{array}{c} p_1(-1)\\p_1(0)\\p_1(1)\end{array}\right]+\beta\left[\begin{array}{c} p_2(-1)\\p_2(0)\\p_2(1)\end{array}\right]$

¿Prueba esto que la transformación es lineal?

Answer 1

Aparentemente, el problema está esencialmente resuelto dentro de la formulación y los comentarios, pero como hay muchos upvotes y ninguna respuesta, propongo escribir una.

Como observa acertadamente OP, el mapa en cuestión obedece a la regla: $$\phi( \alpha p + \beta q ) = \alpha \phi(p) + \beta \phi(q)$$ (nótese que la expresión $\alpha \begin{bmatrix} p(-1) \\ p(0) \\ p(1) \end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} q(-1) \\ q(0) \\ q(1) \end{bmatrix} $ es $\alpha \phi(p) + \beta \phi(q)$ ).

Queda por ver que esta condición implica la linealidad de $\phi$ que se define por las siguientes contidiones:

1. Para cualquier $p,q \in \mathbb R_3[x]$ se sostiene que $\phi(p + q) = \phi(p) + \phi(q)$ .
2. Para cualquier $p \in \mathbb R_3[x]$ , $\alpha \in \mathbb R$ se sostiene que $\phi(\alpha p) = \alpha \phi(p)$ .

Sabemos que $\phi$ satisface la condición:

1. Para cualquier $p,q \in \mathbb R_3[x]$ , $\alpha,\beta \in \mathbb R$ se sostiene que $\phi(\alpha p + \beta q) = \alpha \phi(p) + \beta \phi(q)$ .

Ahora, poniendo $\alpha = \beta = 1$ en 3., recuperamos la condición 1. Poniendo $\beta = 0$ y $q$ arbitraria, recuperamos la condición 2. Por lo tanto, ambas condiciones se mantienen, y $\phi$ es efectivamente lineal.

Por otra parte, hay que tener en cuenta que si $\phi$ es lineal, es decir, 1. y 2. se cumplen, entonces: $$ \phi(\alpha p + \beta q) = \phi( \alpha p) + \phi(\beta q)= \alpha \phi(p) + \beta \phi(q)$$ por lo que se cumple la condición 3. Esto significa que 3. es de hecho una formulación diferente de la linealidad (de hecho, podría tomarse como una definición alternativa).