Celosía

Question

Aquí está una parcela de la Collatz los tiempos de parada para $1<x<10^5$:

Así que no hay evidencia de una especie de celosía de acuerdo a los puntos.

El trazado de la misma con los datos de una logarítmica $x$ eje:

Parecería que la rejilla es lineal con $\log{x}$. Un par de líneas de ejemplo se muestran en rojo. La adición de líneas paralelas con igual espaciamiento a lo largo de los dos ejes:

Que las líneas muy bien. Hay una cantidad variable de propagación horizontal alrededor de las intersecciones que complica el panorama. He aquí un detalle:

Mi pregunta sería muy general: ¿qué sería de explicar este patrón?

Answer 1

Considere la posibilidad de un número de la forma $8n+3$. Su trayectoria va: $8n+3, 24n+10, 12n+5, 36n+16, 18n+8, 9n+4$. Por lo tanto, el tiempo de parada para $9n+4$ $5$ menos que el tiempo de parada para $8n+3$. El número de $9n+4$ tiene aproximadamente la proporción de $9/8$$8n+3$, por lo que su logaritmo es mayor en aproximadamente un $\log 9/8$, y su tiempo de paro es menor por $5$. Esa es la regularidad que se inclina hacia abajo a lo largo de las líneas que usted está viendo.

Además, $f^5(8n+1)=9n+2$, e $f^5(8n+6)=9n+8$

A continuación, considere un número de la forma $8n+1$. Su trayectoria va: $8n+1, 24n+4, 12n+2, 6n+1$. La relación de $8n+1$ $6n+1$es de alrededor de $4/3$. Por lo tanto, en esos casos, cuando el logaritmo disminuye en alrededor de $\log 4/3$, el tiempo de paro disminuye en $3$. Esa es la regularidad a lo largo de las líneas con pendiente positiva.

Además, $f^3(8n+2)=6n+2$, $f^3(8n+4)=6n+4$, $f^3(8n+5)=6n+4$, y $f^3(8n+6)=6n+5$.

Tenga en cuenta que dos de ellos son de la misma: así, $3$ pasos aguas arriba de cada $6n+4$, nos encontramos con un $8n+4$ e una $8n+5$.

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Estos dos regularidades se entrelazan debido a que el Teorema del Resto Chino. En muchos casos, uno de los $6n+k$ números es también una $8n+j$ número, por lo que un paso hacia abajo-y-a-la-izquierda es seguido por otro paso hacia abajo, a la izquierda o a la derecha.

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Todavía hay las horizontales de los puntos de explicar, agrupados en torno a las intersecciones de la red. En primer lugar, como se señaló anteriormente, $f^3(8n+4)=f^3(8n+5)=6n+4$. Sus trayectorias convergen después de $3$ pasos, por lo que tienen el mismo tiempo de parada.

Del mismo modo, $16n+8$ $16n+10$ tienen el mismo tiempo de parada, con $f^4(16n+8)=f^4(16n+10)$.

La exploración de trayectorias modulo diversas facultades de $2$, usted puede mantener la búsqueda de patrones como estos.

Answer 2

Parte de la explicación es que si tienes un patrón (una colección de números $a_1, a_2, \ldots, a_n$ que usted preste atención visualmente) en algún momento de la detención, entonces usted tiene el mismo patrón en aquel momento de parada + 1, pero con $2a_1, 2a_2, \ldots, 2a_n$, porque cada uno de los números "paradas" después de un paso más. Claramente se aplica el mismo tipo de cosa a % o $2^2$ $2^3$, etcetera. Por lo tanto, al menos algunas de la regularidad en la parcela de registro.