Portada de "Gödel, Escher, Bach"

Question

Consideremos la imagen de portada del libro "Gödel, Escher, Bach", representada a continuación. Lo interesante es que muestra la existencia de un subconjunto de $\mathbb{R}^3$ que se proyecta sobre $\mathbb{R}^2$ de tres maneras diferentes para formar las letras del título del libro. Es natural preguntarse por las generalizaciones: ¿para qué subconjuntos $A_1, A_2, A_3$ de $\mathbb{R}^2$ se establece $X \subset \mathbb{R}^3$ tal que, con $\pi_1, \pi_2, \pi_3$ los mapas de proyección $\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$ , $\pi_1(X) = A_1, \pi_2(X) = A_2$ y $\pi_3(X) = A_3$ ?

En términos más generales $\{ \pi_i \}_{i \in I_{n,m}}$ sean los mapas de proyección canónica $\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ donde $m \leq n$ . Para qué conjuntos $\{ A_i \}_{i \in I_{n, m}} \subset \mathbb{R}^m$ ¿existe un conjunto $X$ tal que $\pi_i (X) = A_i \forall i \in I_{n, m}$ ?

Otras consideraciones interesantes:

1) No necesito que el conjunto esté conectado. No obstante, se plantea la interesante cuestión de cuándo el conjunto en cuestión es conexo.

2) Que $X$ sea el mayor conjunto posible que satisfaga la pregunta, suponiendo que exista. ¿Hay alguna forma sencilla de calcular su límite? $\partial X$ ?

3) ¿Cuál es el volumen del mayor conjunto posible en cuestión en términos de $A_i$ ? Cabe señalar que, si $A_1, A_2, A_3$ son subconjuntos medibles de $I^2$ entonces existe una fórmula interesante para el volumen de $X$ más el volumen de $Y = I^3 - \pi_1^{-1}(A_1) \cap I^3 - \pi_2^{-1}(A_2) \cap I^3 - \pi_3^{-1}(A_3) \cap I^3$ .

Answer 1

El candidato obvio (y máximo) para el objeto 3d es $$\{\,(x,y,z)\in\Bbb R^3\mid (y,z)\in A_1, (x,z)\in A_2, (x,y)\in A_3\,\}$$ obtenidos intersecando los conjuntos máximos que dan cada uno una de las tres proyecciones. La cuestión es si las proyecciones de este conjunto maximal son las deseadas. Éste es el caso de la primera proyección si y sólo si para cada $(y,z)\in A_1$ existe $x\in\Bbb R$ tal que $(x,y)\in A_3$ y $(x,z)\in A_2$ . Lo mismo ocurre con las otras dos proyecciones.

Los ejemplos de Hofstadter funcionan porque ya en la barra vertical de la E, hay tanta materia en la B (su línea inferior con arco final) que la G está garantizada para funcionar; y del mismo modo, en la barra inferior de la E, hay tanta materia en la G (su línea inferior casi recta) que la B está garantizada para funcionar; y finalmente la barra vertical de la B y el extremo izquierdo de la G son materia suficiente para garantizar que la E funcione. Así que, en cierto modo, el truco está en que la B y la G son menos redondas de lo que se escribiría normalmente.

Answer 2

Ian Stewart, en una de las columnas de Scientific American, escribió sobre "¿Qué demonios es un reloj de sol digital?". La idea era definir una forma que proyectara una sombra que mostrara la hora a medida que el sol se movía por el cielo. En una discusión sobre la paradoja de Banach-Tarski, afirmó esencialmente que se podía encontrar un conjunto que hiciera cualquier proyección razonable que se quisiera. No recuerdo que se diera una prueba cuidadosa. Wikipedia dice que el teorema fue demostrado en 1987 por Kenneth Falconer.

Answer 3

Esto añade poco a la discusión, pero hice de la construcción de un algoritmo un ejercicio en Geometría computacional en C , p.154. Es un programa relativamente fácil de escribir para polígonos ortogonales, perforando la extrusión de cada uno de los polígonos ortogonalmente, y luego comprobar si las sombras son correctas y el objeto 3D resultante está conectado:

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De hecho, si discretizamos los polígonos para que sigan una cuadrícula, entonces la "perforación" puede lograrse atravesando una matriz binaria 3D.

Answer 4

Su generalización a los triples $A_1, A_2, A_3$ para el que existe un único $X$ que proyecta a cada uno de los $A_i$ es un ejemplo del fenómeno general que he denominado $polysemy$ . Se ha explorado en diversas aplicaciones de la teoría de grafos y la teoría de órdenes. Una pregunta simple de ejemplo es: "¿Para qué pares de órdenes parciales $<_1$ y $<_2$ en un conjunto $S$ ¿existe una biyección $f:S\rightarrow{\mathbf R}^2$ tal que para todo $s,t \in S$ , $$s <_1 t \iff d(f(s),\mathbf{0}) < d(f(t),\mathbf{0})$$ y $$s <_2 t \iff d(f(s),\mathbf{1}) < d(f(t),\mathbf{1}),$$ donde $\mathbf{0}$ es el origen y $\mathbf{1}$ ¿es el punto (1,0)?"

Para más información, consulte (de todos los sitios) https://en.wikipedia.org/wiki/Representation_(matemáticas)#Polisemia .

Answer 5

Me parece que es bastante sencillo construir un objeto que genere casi las 3 proyecciones que quieras. Para hacer un ejemplo, considere sólo el cubo unitario cerrado en $\mathbb{R}^3$ . Aunque no es necesariamente conexo, el conjunto $$\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:(x,y)\in A_1||(z,y)\in A_2||(x,z)\in A_3\}$$ generará $A_1$ a lo largo del eje z, $A_2$ a lo largo del eje x, y $A_3$ a lo largo del eje y. Para que una construcción de este tipo esté conectada en $\mathbb{R}^3$ las tres proyecciones deben estar conectadas y cuando se colocan en el cubo unitario todas deben contener al menos una de las cuatro esquinas $(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)$ .

Esencialmente, tome cada proyección y colóquelas en la cara de un prisma rectangular como un subconjunto de espesor 0 de $\mathbb{R}^3$ .

MÁS METNIONED EN LA EDICIÓN 3 COMIENZA AQUÍ

Podemos hacerlo mucho mejor. Podemos tener en cuenta el problema de profundidad anterior generalizando aún más.

Esta idea puede materializarse. Sean los ejes ortogonales en cuestión definidos por vectores unitarios $\vec{a_1}$ , $\vec{a_2}$ y $\vec{a_3}$ . Lo siguiente funcionará cuando las proyecciones $A_1$ a través de $A_3$ están conectados.

Definimos $A_n'$ como extensión de $A_n$ en $\mathbb{R}^3$ como un prisma. Más formalmente, $$A_n'=\{(b_1,b_2,b_3)|\sum_{1\le i\le 3, i\not=n}{b_i\vec{a_i}}\in A_n\}$$ Entonces el conjunto con mayor volumen que genera las 3 proyecciones (sin considerar la rotación) es $X=A_1'\cap A_2'\cap A_3'$ .

EDIT: como se señala en los comentarios, No es necesario que las proyecciones contengan una esquina para estar conectadas, pero si contienen la esquina y están conectadas entre sí, estarán conectadas.

EDIT 2: Para aclarar, quiero decir casi cualquier triplete de proyecciones vagamente porque no he podido formarme más la idea. Ésta es sólo una construcción que cubre las proyecciones "bonitas", y es una especie de idea de galleta. Se basa intuitivamente en simplemente unir las proyecciones a la cara de un cubo; esto generaría cada proyección en la cara que se coloca, además de cualquier borde de la otra (que a menudo se puede arreglar cambiando la profundidad de las otras proyecciones) pero aquí es donde he tenido problemas para formalizar nada. Tengo un vuelo de registro próximo, espero poder desarrollar esto más allá allí.

EDITAR 3: Añadido algo más (ediciones anteriores).