Los valores propios del operador compacto no tienen puntos de acumulación distintos de cero

Question

En el libro

Elementos de la teoría de las funciones y del análisis funcional

de Kolmogorov y Fomin, hay una demostración del siguiente teorema,

Todos los operadores compactos $A$ en un espacio de Banach $E$ tiene para un $\rho>0$ sólo un número finito de vectores propios linealmente independientes que corresponden a los valores propios cuyo valor absoluto es mayor que $\rho$ . La prueba que da está más adelante en la parte de erratas del libro como errónea, pero no dice por qué y no sé qué tiene de malo el siguiente argumento similar,

Supongamos que el teorema es falso, es decir, que existe un $\rho$ y una secuencia $\{x_n\}$ de vectores linealmente independientes con $A x_n = \lambda_n x_n$ y $|\lambda_n|>\rho$ . Podemos restringir $A$ al tramo de esta secuencia, es fácil comprobar que tiene una inversa acotada (si $x=a_1x_1+ \cdots +a_k x_k$ entonces $A^{-1}x=a_1 x_1/\lambda_1 + \cdots + a_kx_k/\lambda_k$ y $||A^{-1}|| \leq 1/\rho$ ) por lo tanto en este espacio tenemos un operador compacto con inverso acotado y en consecuencia el mapa de identidad en este espacio es compacto , llegando a una contradicción ya que el espacio es de dimensión infinita.

Answer 1

El lapso de $\lbrace x_n \rbrace$ no es obviamente un espacio de Banach (no está claro por qué es cerrado en $E$ ), y, como consecuencia, no me queda claro por qué la restricción de $A$ a este espacio debe ser "compacto" (es decir, lleva conjuntos acotados a conjuntos precompactos).

Para dar un contraejemplo concreto que demuestre que esto es un problema real, pongamos $H$ sea un espacio de Hilbert separable con una base de Hilbert ortonormal $\lbrace e_i \rbrace$ y que $B : H \to H$ sea el operador definido por $B(e_k) = \tfrac{1}{k} e_k$ . Entonces $B$ es compacto por los teoremas estándar.

Dejemos que $V \subset H$ sea el finito duración de la $e_i$ (es decir, el espacio de las combinaciones lineales finitas del $e_i$ ). Entonces $B$ ciertamente arregla $V$ . Pero el operador $B : V \to V$ hace no llevan conjuntos acotados a conjuntos precompactos; por ejemplo, si $\mathcal{B}_1$ es la bola unitaria en $V$ entonces $B(\mathcal{B}_1)$ contiene la secuencia de Cauchy $\lbrace u_n \rbrace$ definido por $$ u_n := \sum_{k=1}^N \frac{1}{k 2^k} e_k = B\Big( \sum_{k=1}^N \frac{1}{2^k} e_k \Big), $$ pero esta secuencia obviamente no tiene límite en $V$ .

Para tratar de arreglar esto, uno podría en su prueba reemplazar el lapso de $\lbrace x_n \rbrace$ con su cierre; pero entonces se necesita un argumento mejor para demostrar que $A$ es invertible con inversa acotada (lo cual, al menos, no es obvio para mí en este momento).

Answer 2

Necesitamos

Un lema de Riesz: Si $X$ es Banach y $M\subset X$ es un subespacio cerrado, entonces para cada $\epsilon>0$ hay $x\in X$ tal que $||x||=1$ y $d(x,M)>1-\epsilon$ .

Prueba: Dejemos que $1>\epsilon>0$ . Escoge $y\in X\setminus M$ . Entonces $d(y,M)=a>0$ . Existen $m\in M$ tal que $$||y-m||\leq a\left(1+\frac{\epsilon}{1-\epsilon}\right)$$ Poner $x:=\frac{y-m}{||y-m||}$ . Podemos comprobar que para $z\in M$ tenemos $$\begin{align}||x-z||&=\left|\left|\frac{y-m}{||y-m||}-z\right|\right|\\&=||y-m||^{-1}\cdot\left|\left|y-\color{red}{m-||y-m||\cdot z}\right|\right|\\&=||y-m||^{-1}\cdot||y-\color{red}{h}||\\&\geq||y-m||^{-1}\cdot a\ \ \ \ \text{ because }\color{red}{h}\in M\\&\geq 1-\epsilon\end{align}$$

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Demostrar que los valores propios de los operadores compactos sólo pueden acumularse en $0$ .

Supongamos que $\lambda\neq0$ no es un valor propio. Entonces $T:=A-\lambda$ es uno a uno.

Objetivo final: Para demostrar que $T^{-1}:X\to X$ existe y está acotada. En particular, esto demuestra que $\lambda$ no puede ser un límite de valores propios.

Supongamos que la imagen de $T$ está cerrado.

Entonces, por el teorema del mapa abierto $T^{-1}:\text{Im}(T)\to X$ existe y es continua.

Si $X_1:=\text{Im}(T)\subsetneq X$ entonces todos los espacios $X_{n+1}:=\text{Im}(T)X_{n}$ son diferentes, y cada una contiene a la siguiente.

Ahora, elige $x_n\in X_n$ tal que $||x_n||$ y $d(x_n, X_{n+1})>\frac{1}{2}$ . Entonces, para $m>n$

$$\begin{align}\left|\left|Ax_n-Ax_m\right|\right|&=|\lambda|\cdot\left|\left|x_n+\color{red}{-x_m-\frac{Tx_n-Tx_m}{\lambda}}\right|\right|\\&=|\lambda|\cdot||x_n-\color{red}{x}||\ \ \ \ \text{ where }\color{red}{x}\in X_{n+1}\\&\geq\frac{|\lambda|}{2}\end{align}$$

Pero esto significa que la secuencia $Ax_n$ no puede tener subsecuencias convergentes contradiciendo que $A$ es compacto.

Por lo tanto, $\text{Im}(T)=X$ y $T^{-1}:X\to X$ .

Podemos terminar ahora porque

La imagen de $T$ está cerrado.

Supongamos que $y_n=Tx_n$ converge a $y$ .

Caso 1: Si $x_n$ está acotado entonces, ya que $A$ es compacto hay una subsecuencia $x_{n_k}$ tal que $Ax_{n_k}$ converge. Pero $x_{n_k}=\lambda^{-1}(Ax_{n_k}-y_{n_k})$ Así que $x_{n_k}$ es a su vez convergente (a algún $x$ ). Entonces $y=Tx\in\text{Im}(T)$ .

Caso 2: Si $x_n$ no tiene límites (podemos suponer que $||x_n||\to\infty$ ). Entonces $z_n:=x_n/||x_n||$ tiene norma $1$ y $Tz_n=y_n/||x_n||\to0$ (porque $y_n$ es convergente y, por tanto, acotada). Como $z_n$ está acotado y $A$ es compacto, existe una subsecuencia $z_{n_k}$ tal que $Az_{n_k}$ converge. Pero entonces $z_{n_k}=\lambda^{-1}(Az_{n_k}-Tz_{n_k})$ es a su vez convergente (a algún $z$ ). Tomando el límite en esta última ecuación vemos que $\lambda z=Az$ . Por lo tanto, $z=0$ ya que asumimos que $\lambda$ no es un valor propio. Pero esto no puede ser porque $||z_n||=1$ no permite $z_n\to0$ .

Answer 3

@inquisitor: He mirado una traducción de Kolmogorov-Fomin al español, no puede diferir demasiado del original. Aquí está cómo lo prueban, con algo de suavidad.

Usted toma $E$ espacio normado y $A$ un operador lineal, $x_n\in E$ linealmente independientes para que $A x_n = \lambda_n \cdot x_n$ y $|\lambda_n| \ge \delta > 0$ . Demostraremos que $A$ no es un operador compacto.

En primer lugar, algunos datos estándar:

1. Si $F$ es un subespacio cerrado de $E$ y $x \not \in F$ entonces existe $\alpha \in \mathbb{K}$ y $y \in F$ para que $||\alpha x + y || = 1$ y $\text{d}( \alpha x + y, F) \ge \frac{1}{2}$
2. Si $F$ es un subespacio de $E$ y $A x = \lambda x$ entonces para todos los vectores $z$ en el subespacio $\mathbb{K} \cdot x + F$ tenemos $A z = \lambda z + g$ para algunos $g \in F$ .

Consideremos ahora la secuencia de subespacios de dimensión finita $F_n = (x_1, \ldots, x_n)$ . Tome un $n$ y aplicar $1.$ a $x_n$ y $F_{n-1}$ . Obtenemos $y_n\colon = \alpha_n x_n + f_{n-1}$ para que $||y_n||=1$ y $\text{d}(y_n, F_{n-1}) \ge 1/2$ .

Tenga en cuenta que el lapso de $y_1, \ldots , y_n$ sigue siendo $F_n$ para todos $n$ (por inducción). Además, desde $2.$ tenemos $A y_n = \lambda_n y_n + g_n $ para algunos $g_n \in F_{n-1}$ .

Ya hemos terminado. Para $n>m$ tenemos

$(Ay_n - A y_m) = \lambda_n\cdot (y_n - h)$ donde $h \in F_{n-1}$ y así

$||Ay_n - A y_m|| = |\lambda_n| \cdot ||y_n - h||\ge \frac{1}{2} |\lambda_n|\ge \frac{1}{2} \delta$

mientras que $||y_n|| =1$ para todos $n$ .